matE8.pl

Egzamin ósmoklasisty z matematyki — grudzień 2017 — arkusz CKE z rozwiązaniami

CKE 2017 grudzień, arkusz przykładowy (EO_1) · 22 zadań · 32 punktów · 100 minut · egzamin 2017-12

Poniżej cały arkusz egzaminacyjny z matematyki wraz z odpowiedziami do zadań zamkniętych oraz rozwiązaniami krok po kroku i zasadami oceniania dla zadań otwartych.

Rozwiąż ten arkusz online i sprawdź swój wynik →

Zadanie 1 (1 pkt)

Z okazji Światowego Dnia Książki uczniowie klasy VII zorganizowali quiz wiedzy o postaciach literackich. Quiz można było zakończyć na jednym z poziomów, które zaliczało się kolejno od I do VI. Na diagramie przedstawiono, ile procent uczniów zakończyło quiz na danym poziomie. Na poziomach niższych niż Asia quiz zakończyło dokładnie 32% uczniów biorących w nim udział.

Rysunek do zadania 1

Ile procent uczniów zakończyło ten quiz na poziomach wyższych niż Asia? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

  1. A. 40%
  2. B. 32%
  3. C. 28%
  4. D. 8%

Poprawna odpowiedź: A

Zadanie 2 (1 pkt)

Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Zadanie 3 (1 pkt)

Tata Bartka przed wyjazdem z Krakowa do Warszawy analizuje niektóre bezpośrednie połączenia między tymi miastami. Do wyboru ma cztery połączenia przedstawione w poniższej tabeli.

Rysunek do zadania 3

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F — jeśli jest fałszywe.

Za przejazd w najkrótszym czasie należy zapłacić 49 zł.Prawda
Zgodnie z rozkładem jazdy tylko przejazd autobusem trwa dłużej niż 4 godziny.Prawda

Zadanie 4 (1 pkt)

Prosta EF dzieli prostokąt ABCD na kwadrat EFCD o obwodzie 32 cm i prostokąt ABFE o obwodzie o 6 cm mniejszym od obwodu kwadratu EFCD.

Rysunek do zadania 4

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość odcinka AE jest równa

  1. A. 2 cm
  2. B. 4 cm
  3. C. 5 cm
  4. D. 8 cm

Poprawna odpowiedź: C

Zadanie 5 (1 pkt)

Narysowany kwadrat należy wypełnić tak, aby iloczyny liczb w każdym wierszu, każdej kolumnie i na obu przekątnych kwadratu były takie same.

Rysunek do zadania 5

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F — jeśli jest fałszywe.

Iloczyn liczb na przekątnej kwadratu jest równy 515.Prawda
W zacieniowane pole kwadratu należy wpisać liczbę 59.Prawda

Zadanie 6 (1 pkt)

Jacek i Ola testują swoje elektryczne deskorolki. W tym celu zmierzyli czasy przejazdu na trasie 400 m. Ola pokonała tę trasę w czasie 160 s, a Jacek – w czasie 100 s.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Różnica średnich prędkości uzyskanych przez Jacka i przez Olę jest równa

  1. A. 1,5 kmh
  2. B. 5,4 kmh
  3. C. 9 kmh
  4. D. 14,4 kmh

Poprawna odpowiedź: B

Zadanie 7 (1 pkt)

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F — jeśli jest fałszywe.

W pięciu rzutach standardową sześcienną kostką do gry, jeżeli wynik każdego rzutu będzie inny, można otrzymać łącznie dokładnie 20 oczek.Prawda
W 16 rzutach standardową sześcienną kostką do gry można otrzymać łącznie ponad 100 oczek.Fałsz

Zadanie 8 (1 pkt)

Informacje do zadań 8. i 9. Punkt kratowy to miejsce przecięcia się linii kwadratowej siatki. Pole wielokąta, którego wierzchołki znajdują się w punktach kratowych kwadratowej siatki na płaszczyźnie, można obliczyć ze wzoru Picka: P = W + 12·B - 1, gdzie P oznacza pole wielokąta, W – liczbę punktów kratowych leżących wewnątrz wielokąta, a B – liczbę punktów kratowych leżących na brzegu tego wielokąta. W wielokącie przedstawionym na rysunku W = 3 oraz B = 5, zatem P = 4,5.

Rysunek do zadania 8

Wewnątrz pewnego wielokąta znajduje się 5 punktów kratowych, a na jego brzegu jest 6 punktów kratowych.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole tego wielokąta jest równe

  1. A. 6
  2. B. 6,5
  3. C. 7
  4. D. 7,5

Poprawna odpowiedź: C

Zadanie 9 (1 pkt)

Informacje do zadań 8. i 9. — wzór Picka: P = W + 12·B - 1 patrz zadanie 8..

Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Zadanie 10 (1 pkt)

Z każdej z dwóch jednakowych kostek sześciennych wycięto sześcian i otrzymano bryły przedstawione na rysunku.

Rysunek do zadania 10

Czy całkowite pole powierzchni bryły I jest większe od całkowitego pola powierzchni bryły II? Wybierz odpowiedź T Tak albo N Nie i jej uzasadnienie spośród A, B albo C.

Poprawna odpowiedź: Nie — całkowite pole powierzchni każdej z otrzymanych brył jest równe całkowitemu polu powierzchni początkowej kostki.

Zadanie 11 (1 pkt)

Na bokach trójkąta prostokątnego ABC zaznaczono punkty D i E. Odcinek DE podzielił trójkąt ABC na dwa wielokąty: trójkąt prostokątny ADE i czworokąt DBCE, jak na rysunku. Odcinek AB ma długość 4·3 cm, a odcinek DE ma długość 3 cm.

Rysunek do zadania 11

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość odcinka EC jest równa

  1. A. 1 cm
  2. B. 3 cm
  3. C. 2 cm
  4. D. 4 cm
  5. E. 3·3 cm

Poprawna odpowiedź: C

Zadanie 12 (1 pkt)

Maja grała z przyjaciółmi w ekonomiczną grę strategiczną. W trakcie tej gry zainwestowała w zakup nieruchomości 56 tys. gambitów – wirtualnych monet. Po upływie 30 minut odsprzedała tę nieruchomość za 280 tys. gambitów.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość nieruchomości od momentu jej zakupienia do momentu sprzedaży

  1. A. wzrosła o 500%.
  2. B. wzrosła o 400%.
  3. C. wzrosła o 80%.
  4. D. wzrosła o 20%.

Poprawna odpowiedź: B

Zadanie 13 (1 pkt)

Przekątne prostokąta ABCD przedstawionego na rysunku przecinają się pod kątem 140°.

Rysunek do zadania 13

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F — jeśli jest fałszywe.

Kąt DCA ma miarę 40°.Fałsz
Kąt DAC ma miarę 70°.Prawda

Zadanie 14 (1 pkt)

Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Zadanie 15 (1 pkt)

Punkt S = 3, 2 jest środkiem odcinka AB, w którym A = 5, 5.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Punkt B ma współrzędne

  1. A. 8, 7
  2. B. 7, 8
  3. C. -1, 1
  4. D. 1, -1

Poprawna odpowiedź: D

Zadanie 16 (1 pkt)

Jedną ścianę drewnianego sześcianu pomalowano na czerwono, a pozostałe – na biało. Ten sześcian rozcięto na 27 jednakowych sześcianów.

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F — jeśli jest fałszywe.

Tylko cztery małe sześciany mają dokładnie jedną ścianę pomalowaną na biało.Fałsz
Tylko cztery małe sześciany mają trzy ściany pomalowane na biało.Prawda

Zadanie 17 (2 pkt)

Na rysunku przedstawiono dwie różne ściany prostopadłościanu. Jedna jest kwadratem o boku 5 cm, a druga – prostokątem o bokach 3 cm i 5 cm.

Rysunek do zadania 17

Oblicz sumę długości wszystkich krawędzi prostopadłościanu o takich wymiarach. Zapisz obliczenia.

Sposób I

  1. Prostopadłościan ma wymiary 5 cm × 5 cm × 3 cm — dwie ściany kwadratowe i cztery prostokątne.
  2. Ma 8 krawędzi o długości 5 cm i 4 krawędzie o długości 3 cm.
  3. 8 · 5 + 4 · 3 = 40 + 12 = 52 cm
  4. Odpowiedź: Suma długości wszystkich krawędzi jest równa 52 cm.

Zasady oceniania

  • 2 pkt — Rozwiązanie pełne: poprawne wyznaczenie sumy długości wszystkich krawędzi 52 cm.
  • 1 pkt — Ustalenie liczby ścian kwadratowych i prostokątnych LUB liczby krawędzi o długości 5 cm albo 3 cm.

Zadanie 18 (2 pkt)

Ania i Jarek grali w kamienie. Na początku gry kamienie układa się w dwóch stosach. Następnie gracze wykonują ruchy na przemian. Ruch w grze polega na wzięciu dowolnej liczby kamieni tylko z jednego ze stosów. Przegrywa ten, kto nie może już wykonać ruchu. Na pewnym etapie gry pierwszy stos zmalał do jednego kamienia, a na drugim znajdowały się trzy kamienie. Ruch miała wykonać Ania.

Uzasadnij, że aby zagwarantować sobie wygraną, Ania musiała wziąć dwa kamienie z drugiego stosu.

Sposób I (analiza przypadków)

  1. Stan gry: stos 1 = 1 kamień, stos 2 = 3 kamienie, ruch Ani.
  2. Gdyby Ania wzięła 1 kamień z drugiego stosu 1, 2: Jarek może wziąć 1 kamień z drugiego stosu i zostaje 1, 1 — wtedy wygrywa Jarek. Wynik zależy od ruchu Jarka.
  3. Gdyby Ania wzięła jedyny kamień z pierwszego stosu 0, 3: Jarek może wziąć wszystkie 3 kamienie i wygrywa.
  4. Gdyby Ania wzięła 3 kamienie z drugiego stosu 1, 0: Jarek bierze ostatni kamień i wygrywa.
  5. Gdy Ania weźmie 2 kamienie z drugiego stosu, zostaje 1, 1. Jarek musi wziąć jeden kamień z dowolnego stosu, a ostatni kamień bierze Ania — Ania wygrywa niezależnie od ruchu Jarka.
  6. Zatem jedynym ruchem gwarantującym wygraną jest wzięcie 2 kamieni z drugiego stosu.

Zasady oceniania

  • 2 pkt — Rozwiązanie pełne: przedstawienie pełnego uzasadnienia strategii wygrywającej Ani wzięcie 2 kamieni z drugiego stosu.
  • 1 pkt — Przedstawienie przebiegu gry przynajmniej dla dwóch przypadków, w których Ania nie bierze dwóch kamieni z drugiego stosu, LUB opis gry po wzięciu 2 kamieni bez dokończenia.

Zadanie 19 (2 pkt)

Na pływalni w marcu obowiązywała promocja: jednorazowe wejście na pływalnię – 9 zł, PROMOCJA: co czwarte wejście gratis. Wojtek był w marcu codziennie jeden raz na pływalni i wykorzystał wszystkie ulgi promocyjne.

Ile kosztowało go korzystanie z pływalni w marcu? Zapisz obliczenia.

Sposób I (liczba płatnych wejść)

  1. Marzec ma 31 dni. Gratisowe wejścia przypadają na 4, 8, 12, 16, 20, 24 i 28 marca, czyli 7 razy.
  2. Wojtek zapłacił za 31 - 7 = 24 wejścia.
  3. 24 · 9 = 216 zł
  4. Odpowiedź: Korzystanie z pływalni w marcu kosztowało Wojtka 216 zł.

Sposób II (przez zniżkę)

  1. Bez promocji: 31 · 9 = 279 zł.
  2. Zniżka: 7 · 9 = 63 zł.
  3. 279 - 63 = 216 zł
  4. Odpowiedź: Korzystanie z pływalni w marcu kosztowało Wojtka 216 zł.

Zasady oceniania

  • 2 pkt — Rozwiązanie pełne: obliczenie kosztu korzystania z pływalni w marcu 216 zł.
  • 1 pkt — Poprawna metoda obliczenia liczby płatnych wejść LUB kwoty zniżki, LUB kosztu korzystania z pływalni.

Zadanie 20 (3 pkt)

Trener chce zamówić 25 nowych piłek do tenisa. Piłki wybranej firmy sprzedawane są w opakowaniach po 3 sztuki albo po 4 sztuki.

Ile opakowań każdego rodzaju powinien zamówić trener, aby mieć dokładnie 25 nowych piłek? Podaj wszystkie możliwości. Zapisz rozwiązanie.

Sposób I (równanie i sprawdzanie)

  1. m — liczba opakowań po 3 piłki, d — liczba opakowań po 4 piłki: 3m + 4d = 25.
  2. Sprawdzamy kolejne wartości m: m = 0 → d = 6,25; m = 1 → d = 5,5; m = 2 → d = 4,75; m = 3 → d = 4 ✔; m = 4 → d = 3,25; m = 5 → d = 2,5; m = 6 → d = 1,75; m = 7 → d = 1 ✔; m = 8 → d nie jest całkowite.
  3. Odpowiedź: Trener może kupić 3 opakowania po 3 piłki i 4 opakowania po 4 piłki albo 7 opakowań po 3 piłki i 1 opakowanie po 4 piłki.

Sposób II (parzystość)

  1. 25 jest liczbą nieparzystą, a piłek w dużych opakowaniach zawsze jest parzyście wielokrotność 4.
  2. Zatem liczba piłek w małych opakowaniach musi być nieparzysta, czyli liczba małych opakowań musi być nieparzysta.
  3. 1 opakowanie → 3 piłki, zostaje 22 — niepodzielne przez 4.
  4. 3 opakowania → 9 piłek, zostaje 16 = 4 · 4 ✔
  5. 5 opakowań → 15 piłek, zostaje 10 — niepodzielne przez 4.
  6. 7 opakowań → 21 piłek, zostaje 4 = 1 · 4 ✔ 9 opakowań to już 27 piłek — za dużo
  7. Odpowiedź: 3 opakowania po 3 i 4 opakowania po 4 albo 7 opakowań po 3 i 1 opakowanie po 4.

Zasady oceniania

  • 3 pkt — Rozwiązanie pełne: podanie dwóch możliwości.
  • 2 pkt — Podanie jednej możliwości.
  • 1 pkt — Zapisanie poprawnego równania z dwiema niewiadomymi LUB poprawny sposób poszukiwania rozwiązań co najmniej 3 próby bez wskazania rozwiązania.

Zadanie 21 (3 pkt)

Prostokątny pasek papieru o wymiarach 12 cm na 2 cm jest z jednej strony biały, a z drugiej – szary. Ten pasek złożono w sposób pokazany na rysunku. Pole widocznej szarej części paska jest równe 8 cm2.

Rysunek do zadania 21

Jakie pole ma widoczna biała część paska? Zapisz obliczenia.

Sposób I (trapez)

  1. Szara widoczna część to prostokąt o szerokości 2 cm: 8 : 2 = 4 cm długości.
  2. Biała część jest trapezem o wysokości 2 cm i podstawach 12 - 4 = 8 cm oraz 8 - 2 = 6 cm.
  3. P = 6 + 8 2 · 2 = 14 cm2
  4. Odpowiedź: Pole widocznej białej części paska jest równe 14 cm2.

Sposób II (prostokąt + trójkąt)

  1. Szara część to prostokąt 2 cm × 4 cm 8 : 2 = 4.
  2. Biała część to prostokąt o bokach 2 cm i 12 - 4 - 2 = 6 cm oraz trójkąt prostokątny równoramienny o przyprostokątnych 2 cm.
  3. 2 · 6 + 2 · 22 = 12 + 2 = 14 cm2
  4. Odpowiedź: Pole widocznej białej części paska jest równe 14 cm2.

Zasady oceniania

  • 3 pkt — Rozwiązanie pełne: obliczenie pola widocznej białej części paska 14 cm2.
  • 2 pkt — Poprawny sposób obliczenia pola widocznej białej części paska.
  • 1 pkt — Poprawny sposób obliczenia wymiarów białego trapezu.

Zadanie 22 (4 pkt)

W wypożyczalni Gierka za wypożyczenie gry planszowej trzeba zapłacić 8 zł za 3 dni i dodatkowo po 2,50 zł za każdy kolejny dzień wypożyczenia. Natomiast w wypożyczalni Planszówka płaci się 12 zł za 3 dni i po 2 zł za każdy kolejny dzień.

Przy jakiej liczbie dni koszty wypożyczenia tej gry w jednej i drugiej wypożyczalni są jednakowe? Zapisz obliczenia.

Sposób I (różnice)

  1. W Gierce każdy dzień powyżej trzeciego kosztuje o 0,50 zł więcej niż w Planszówce.
  2. Planszówka ma o 4 zł wyższą opłatę stałą za pierwsze 3 dni.
  3. 4 : 0,5 = 8 dni powyżej trzeciego
  4. 8 + 3 = 11
  5. Odpowiedź: Przy wypożyczeniu gry na 11 dni koszty w obu wypożyczalniach są jednakowe.

Sposób II (równanie)

  1. x — liczba dni powyżej trzeciego.
  2. Gierka: 8 + 2,5x; Planszówka: 12 + 2x.
  3. 8 + 2,5x = 12 + 2x
  4. 0,5x = 4, więc x = 8.
  5. x + 3 = 11
  6. Odpowiedź: Przy wypożyczeniu gry na 11 dni koszty są jednakowe.

Zasady oceniania

  • 4 pkt — Rozwiązanie pełne: obliczenie liczby dni, przy której koszty są jednakowe 11 dni.
  • 3 pkt — Poprawne obliczenie liczby dni powyżej trzeciego 8 bez doliczenia trzech pierwszych dni.
  • 2 pkt — Zapisanie poprawnego równania opisującego koszty w obu wypożyczalniach LUB porównanie kosztów dla co najmniej trzech różnych liczb dni.
  • 1 pkt — Zapisanie poprawnego wyrażenia opisującego koszt wypożyczenia w jednej z wypożyczalni.
Przećwicz ten arkusz w aplikacji →

Pozostałe arkusze CKE

Zobacz też: zadania z rozwiązaniami według działów →