matE8.pl

Egzamin ósmoklasisty z matematyki — maj 2026 — arkusz CKE z rozwiązaniami

CKE 2026 maj, główny · 20 zadań · 30 punktów · 125 minut · egzamin 2026-05-12

Poniżej cały arkusz egzaminacyjny z matematyki wraz z odpowiedziami do zadań zamkniętych oraz rozwiązaniami krok po kroku i zasadami oceniania dla zadań otwartych.

Rozwiąż ten arkusz online i sprawdź swój wynik →

Zadanie 1 (1 pkt)

Test z matematyki składa się z 40 zadań. Na diagramie przedstawiono procentowy podział liczby zadań w teście na zadania z pięciu działów: algebry, planimetrii, stereometrii, arytmetyki, statystyki.

Rysunek do zadania 1

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba zadań z arytmetyki w tym teście jest równa

  1. A. 14
  2. B. 18
  3. C. 26
  4. D. 35

Poprawna odpowiedź: A

Zadanie 2 (1 pkt)

Ola otwiera swoją szafkę za pomocą czterocyfrowego kodu YXXY, gdzie X jest największym wspólnym dzielnikiem liczb 18 i 27, a Y jest najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb 2 i 4.

Jaki jest kod do otwarcia szafki Oli? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

  1. A. 4334
  2. B. 4994
  3. C. 8338
  4. D. 8998

Poprawna odpowiedź: B

Zadanie 3 (1 pkt)

Dane są cztery liczby:

w = 100-64 - 2

x = 12 - 64+36

y = 25-16 - 3

z = 7 - 9+16

Która z tych liczb jest równa 0? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

  1. A. w
  2. B. x
  3. C. y
  4. D. z

Poprawna odpowiedź: C

Zadanie 4 (1 pkt)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość wyrażenia 25 · 3 · 34 · 23 jest równa wartości wyrażenia

  1. A. 28 · 35
  2. B. 48 · 95
  3. C. 215 · 34
  4. D. 415 · 94

Poprawna odpowiedź: A

Zadanie 5 (1 pkt)

W pewnej hodowli rasowy kocur kosztuje x złotych, a rasowa kotka kosztuje y złotych. Janek kupił z tej hodowli rasowego kocura ze zniżką 40% oraz rasową kotkę ze zniżką 20%.

Które wyrażenie poprawnie opisuje, ile złotych zapłacił Janek za te koty? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

  1. A. 0,4x + 0,2y
  2. B. 0,2x + 0,4y
  3. C. 0,8x + 0,6y
  4. D. 0,6x + 0,8y

Poprawna odpowiedź: D

Zadanie 6 (1 pkt)

W pudełku było jedenaście kul ponumerowanych kolejnymi liczbami naturalnymi od 1 do 11. Z tego pudełka wylosowano pięć kul. Suma liczb na dowolnych dwóch kulach, które pozostały w pudełku, jest parzysta.

Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Zadanie 7 (1 pkt)

Do 10 pustych koszy włożono jabłka i pomarańcze, łącznie 400 sztuk tych owoców. W każdym koszu łączna liczba owoców jest taka sama oraz w każdym koszu liczba jabłek jest o 6 większa od liczby pomarańczy.

Ile sztuk jabłek jest łącznie w tych 10 koszach? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

  1. A. 210
  2. B. 230
  3. C. 240
  4. D. 260

Poprawna odpowiedź: B

Zadanie 8 (1 pkt)

Sumę S = 1 + 2 + 3 + … + n kolejnych liczb naturalnych od 1 do n można obliczyć ze wzoru

S = 12 nn+1

Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Zadanie 9 (1 pkt)

Średnia arytmetyczna dwóch liczb x i y jest równa 4, a średnia arytmetyczna trzech liczb x, y, z jest równa 5.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba z jest równa

  1. A. 4
  2. B. 5
  3. C. 6
  4. D. 7

Poprawna odpowiedź: D

Zadanie 10 (1 pkt)

Dany jest trójkąt równoboczny o boku długości 2 cm.

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F — jeśli jest fałszywe.

Wysokość tego trójkąta jest równa 3 cm.Prawda
Pole tego trójkąta jest równe 3 cm2.Prawda

Zadanie 11 (1 pkt)

Kąty wewnętrzne czworokąta oznaczono: α, β, γ oraz δ. Miara kąta β jest o 70° większa od miary kąta α, miara kąta γ jest dwukrotnie większa od miary kąta α. Kąt δ jest kątem prostym.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta β jest równa

  1. A. 50°
  2. B. 85°
  3. C. 120°
  4. D. 155°

Poprawna odpowiedź: C

Zadanie 12 (1 pkt)

Na kartce w kratkę Jurek wykonał rysunek. Na tym rysunku punkty M, W, S oznaczają położenia odpowiednio: muzeum, wieży widokowej oraz schroniska. Wieża widokowa znajduje się 3 km na północ i 4 km na zachód od schroniska. Muzeum znajduje się 5 km na wschód od schroniska.

Rysunek do zadania 12

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F — jeśli jest fałszywe.

Odległość w linii prostej schroniska od muzeum jest równa odległości w linii prostej schroniska od wieży widokowej.Prawda
Odległość w linii prostej muzeum od wieży widokowej jest mniejsza niż 10 km.Prawda

Zadanie 13 (1 pkt)

Przekątna AD dzieli pięciokąt ABCDE na trójkąt ADE i na kwadrat ABCD zobacz rysunek. Pole trójkąta ADE jest równe 28, a wysokość poprowadzona z wierzchołka E na bok AD jest równa 7.

Rysunek do zadania 13

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole kwadratu ABCD jest równe

  1. A. 16
  2. B. 32
  3. C. 49
  4. D. 64

Poprawna odpowiedź: D

Zadanie 14 (1 pkt)

Trzy jednakowe sześciany o krawędzi długości 5 ustawiono jeden na drugim i otrzymano prostopadłościan zobacz rysunek.

Rysunek do zadania 14

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole powierzchni całkowitej otrzymanego prostopadłościanu jest równe

  1. A. 350
  2. B. 375
  3. C. 400
  4. D. 450

Poprawna odpowiedź: A

Zadanie 15 (2 pkt)

Do wykonania origami Ela przygotowała łącznie 160 kartek. Każda z tych kartek była w jednym z czterech kolorów: białym, niebieskim, zielonym lub czerwonym. Kartek białych było 37. Kartek niebieskich było 1,5 raza więcej niż czerwonych, a kartek zielonych było o 10 mniej niż czerwonych. Oblicz, ile kartek niebieskich przygotowała Ela. Zapisz obliczenia.

Sposób I

  1. Liczbę kartek czerwonych oznaczymy jako x.
  2. Zapiszemy wyrażenia opisujące liczby pozostałych kartek: 1,5x — liczba kartek niebieskich, x - 10 — liczba kartek zielonych.
  3. Zapiszemy i rozwiążemy równanie spełniające wszystkie warunki zadania: x + 1,5x + x - 10 + 37 = 160
  4. 3,5x = 133
  5. x = 38
  6. Obliczymy liczbę kartek niebieskich: 1,5 · 38 = 57
  7. Odpowiedź: Ela przygotowała 57 kartek niebieskich.

Sposób II

  1. Obliczymy liczbę kartek czerwonych wprost z warunków zadania: 160 - 37 + 10 : 3,5 = 38
  2. Obliczymy liczbę kartek niebieskich: 1,5 · 38 = 57
  3. Odpowiedź: Ela przygotowała 57 kartek niebieskich.

Zasady oceniania

  • 2 pkt — Poprawny sposób obliczenia liczby kartek niebieskich, prawidłowe obliczenia oraz prawidłowy wynik 57.
  • 1 pkt — Zapisanie poprawnego równania z jedną niewiadomą, np. x + 1,5x + x - 10 + 37 = 160 x = liczba kartek czerwonych, albo poprawnego wyrażenia 160 - 37 + 10 : 3,5.

Zadanie 16 (3 pkt)

Z Polanki do Dębiny prowadzi jedna droga przez Jodłowo i ma długość 123 km. Droga z Polanki do Jodłowa ma długość 48 km i samochód przejechał ją w czasie 40 minut. Drogę z Jodłowa do Dębiny ten samochód pokonał z taką samą prędkością, jak drogę z Polanki do Jodłowa. Uzasadnij, że przejazd tego samochodu z Jodłowa do Dębiny trwał dłużej niż godzinę. Zapisz obliczenia.

Sposób I

  1. Obliczymy drogę z Jodłowa do Dębiny: 123 - 48 = 75 km
  2. Obliczymy prędkość, z jaką samochód przejechał z Polanki do Jodłowa: 40 minut to 23 godziny, więc v = 48 : 23 = 72 kmh
  3. Samochód jechał z prędkością 72 kmh, więc w ciągu 1 godziny przejechałby 72 km — a droga z Jodłowa do Dębiny ma 75 km.
  4. Odpowiedź: Przejechanie 75 km z tą samą prędkością trwało dłużej niż 1 godzinę.

Sposób II

  1. Obliczymy drogę z Jodłowa do Dębiny: 123 - 48 = 75 km
  2. Obliczymy czas przejazdu 75 km z tą samą prędkością:
  3. 48 km w 40 min
  4. 6 km w 5 min
  5. 75 km w 62,5 min
  6. 62,5 min > 60 min = 1 h
  7. Odpowiedź: Przejazd z Jodłowa do Dębiny trwał 62,5 min, czyli dłużej niż 1 godzinę.

Zasady oceniania

  • 3 pkt — Poprawny sposób rozwiązania, prawidłowe obliczenia np. prędkość 72 kmh albo czas 62,5 min oraz sformułowanie wniosku, że przejazd trwał dłużej niż 1 godzinę.
  • 2 pkt — Poprawny sposób obliczenia prędkości z Polanki do Jodłowa oraz poprawny sposób obliczenia drogi z Jodłowa do Dębiny 123 - 48, bez pełnego wniosku.
  • 1 pkt — Poprawny sposób obliczenia prędkości 48 km w 40 min LUB drogi z Jodłowa do Dębiny 123 - 48, LUB czasu przejazdu z Polanki do Dębiny.

Zadanie 17 (3 pkt)

Podczas Dnia Sportu w pewnej szkole rozegrano trzy turnieje sportowe. Każde dziecko, które było uczestnikiem tego Dnia Sportu, wzięło udział w dokładnie jednym turnieju sportowym. W tabeli podano informacje dotyczące liczby dzieci biorących udział w poszczególnych turniejach. Łączna liczba dziewcząt była o 8 większa od łącznej liczby chłopców uczestniczących w tym Dniu Sportu.

Rysunek do zadania 17

Oblicz, ile procent liczby wszystkich uczestników Dnia Sportu stanowi liczba dzieci, które brały udział w turnieju tenisa stołowego. Zapisz obliczenia.

Sposób I

  1. Obliczymy, ilu chłopców uczestniczyło w Dniu Sportu: 46 + 16 + 34 = 96
  2. Obliczymy liczbę wszystkich dziewcząt: 96 + 8 = 104
  3. Obliczymy liczbę wszystkich uczestników: 96 + 104 = 200
  4. Obliczymy liczbę uczestników turnieju tenisa stołowego: 200 - 46 + 16 + 15 + 65 = 200 - 142 = 58
  5. Obliczymy szukany procent: 58200 = 29100 = 29%
  6. Odpowiedź: Liczba dzieci z turnieju tenisa stołowego stanowi 29% liczby wszystkich uczestników Dnia Sportu.

Sposób II

  1. Liczba chłopców: 46 + 16 + 34 = 96, liczba dziewcząt: 96 + 8 = 104, wszyscy uczestnicy: 200
  2. Dziewczęta w turnieju tenisa stołowego: 104 - 15 + 65 = 24
  3. Wszyscy uczestnicy turnieju tenisa stołowego: 34 + 24 = 58
  4. 58200 · 100% = 29%
  5. Odpowiedź: Liczba dzieci z turnieju tenisa stołowego stanowi 29% liczby wszystkich uczestników Dnia Sportu.

Zasady oceniania

  • 3 pkt — Poprawny sposób obliczenia szukanego procentu, prawidłowe obliczenia oraz prawidłowy wynik 29%.
  • 2 pkt — Poprawny sposób obliczenia liczby wszystkich uczestników 200 oraz liczby uczestników turnieju tenisa stołowego 58.
  • 1 pkt — Poprawny sposób obliczenia liczby wszystkich dziewcząt 104 LUB wszystkich uczestników 200, LUB dziewcząt w turnieju tenisa stołowego 24.

Zadanie 18 (2 pkt)

Dany jest sześcian ABCDEFGH o krawędzi długości a. Punkt S jest środkiem krawędzi DH tego sześcianu. Punkty A, C, D, S są wierzchołkami ostrosłupa trójkątnego zobacz rysunek. Oblicz, ile razy objętość ostrosłupa ACDS jest mniejsza od objętości sześcianu ABCDEFGH. Zapisz obliczenia.

Rysunek do zadania 18

Sposób I

  1. Objętość sześcianu: V = a3
  2. Podstawą ostrosłupa ACDS jest trójkąt ACD o polu 12 · a · a połowa kwadratu ABCD, a jego wysokością odcinek DS o długości 12 · a.
  3. Objętość ostrosłupa: V = 13 · 12 · a · a · 12 · a = 112 · a3
  4. Odpowiedź: Objętość ostrosłupa ACDS jest 12 razy mniejsza od objętości sześcianu ABCDEFGH.

Zasady oceniania

  • 2 pkt — Poprawny sposób obliczenia objętości ostrosłupa, prawidłowe obliczenia oraz ustalenie, że jest ona 12 razy mniejsza od objętości sześcianu. Uwaga CKE: obliczenia wykonane wyłącznie na konkretnych liczbach = 0 pkt.
  • 1 pkt — Zapisanie poprawnego wyrażenia opisującego objętość ostrosłupa ACDS, np. V = 13 · 12 · a · a · 12 · a.

Zadanie 19 (3 pkt)

Ogródek pani Anny ma kształt trapezu, którego podstawy mają długości 18 m i 12 m, a wysokość jest równa 9 m. Pani Anna chce zmienić swój ogródek w łąkę kwietną. Jedno opakowanie z nasionami wybrane przez panią Annę wystarcza na obsianie 25 m2 powierzchni i kosztuje 23,80 zł. Oblicz, ile złotych musi zapłacić pani Anna za najmniejszą liczbę opakowań z nasionami potrzebnych na obsianie całej powierzchni tego ogródka. Zapisz obliczenia.

Sposób I

  1. Obliczymy pole powierzchni ogródka ze wzoru na pole trapezu: P = 18+122 · 9 = 15 · 9 = 135 m2
  2. Obliczymy liczbę potrzebnych opakowań: 135 : 25 = 5,4 — liczba opakowań musi być naturalna, więc potrzeba 6 opakowań.
  3. Obliczymy koszt zakupu: 6 · 23,80 = 142,80 zł
  4. Odpowiedź: Pani Anna musi zapłacić 142,80 zł.

Zasady oceniania

  • 3 pkt — Poprawny sposób obliczenia kosztu zakupu najmniejszej liczby opakowań, prawidłowe obliczenia oraz prawidłowy wynik 142,80 zł.
  • 2 pkt — Poprawny sposób obliczenia najmniejszej liczby opakowań potrzebnych na obsianie całej powierzchni 6.
  • 1 pkt — Poprawny sposób obliczenia pola powierzchni ogródka 135 m2.

Zadanie 20 (3 pkt)

Z kartonu wycięto prostokąt ABCD o wymiarach 3 i 9 zobacz rysunek 1.. Następnie ten prostokąt rozcięto na dwie figury: trapez prostokątny oraz trójkąt prostokątny równoramienny. Z tych figur złożono równoległobok KLMN, który nie jest prostokątem zobacz rysunek 2.. Oblicz obwód równoległoboku KLMN. Zapisz obliczenia.

Rysunek do zadania 20

Sposób I

  1. Trójkąt prostokątny równoramienny odcięty z prostokąta ma przyprostokątne długości 3 wysokość prostokąta.
  2. Bok KN równoległoboku jest przeciwprostokątną tego trójkąta. Z twierdzenia Pitagorasa: KN2 = 32 + 32 = 18, więc KN = 18 = 32
  3. Boki KL i NM równoległoboku mają długość 9.
  4. Obliczymy obwód: 2 · 9 + 2 · 32 = 18 + 62
  5. Odpowiedź: Obwód równoległoboku KLMN jest równy 18 + 62.

Zasady oceniania

  • 3 pkt — Poprawny sposób obliczenia obwodu, prawidłowe obliczenia oraz prawidłowy wynik 18 + 62 lub 18 + 218.
  • 2 pkt — Poprawny sposób obliczenia obwodu równoległoboku KLMN np. z przybliżeniami pierwiastków zamiast wartości dokładnej.
  • 1 pkt — Poprawny sposób obliczenia przeciwprostokątnej trójkąta o przyprostokątnych długości 3 np. c2 = 32 + 32 lub ustalenie, że ma ona długość 32.
Przećwicz ten arkusz w aplikacji →

Pozostałe arkusze CKE

Zobacz też: zadania z rozwiązaniami według działów →