matE8.pl

Egzamin ósmoklasisty z matematyki — maj 2021 — arkusz CKE z rozwiązaniami

CKE 2021 maj, główny · 19 zadań · 25 punktów · 100 minut · egzamin 2021-05-26

Poniżej cały arkusz egzaminacyjny z matematyki wraz z odpowiedziami do zadań zamkniętych oraz rozwiązaniami krok po kroku i zasadami oceniania dla zadań otwartych.

Rozwiąż ten arkusz online i sprawdź swój wynik →

Zadanie 1 (1 pkt)

Na diagramie słupkowym przedstawiono liczby medali zdobytych na czterech letnich igrzyskach olimpijskich przez reprezentację Polski.

Rysunek do zadania 1

Oceń prawdziwość podanych zdań, dotyczących medali zdobytych przez reprezentację Polski podczas letnich igrzysk olimpijskich w latach 2004–2016. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F — jeśli jest fałszywe.

Liczba zdobytych złotych medali stanowi więcej niż jedną trzecią liczby wszystkich zdobytych medali.Fałsz
Podczas letnich igrzysk olimpijskich średnio zdobywano 3 złote medale.Prawda

Zadanie 2 (1 pkt)

Dane są cztery liczby x, y, t, u zapisane za pomocą wyrażeń arytmetycznych:

x = -62,5 + 30 y = -14,4 - 12,6 t = -12 : 0,3 u = -8,02 · 6

Która z tych liczb jest największa? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

  1. A. x
  2. B. y
  3. C. t
  4. D. u

Poprawna odpowiedź: B

Zadanie 3 (1 pkt)

Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Zadanie 4 (1 pkt)

Z reguł działań na potęgach wynika, że:

200 0003 = 2 · 100 0003 = 2 · 1053 = 23 · 1015

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Z tych samych reguł wynika, że liczba 60 000 0003 jest równa

  1. A. 63 · 1021
  2. B. 6 · 1021
  3. C. 63 · 1010
  4. D. 6 · 1010

Poprawna odpowiedź: A

Zadanie 5 (1 pkt)

Czy iloczyn dowolnych pięciu kolejnych liczb całkowitych jest podzielny przez 10? Wybierz odpowiedź A albo B i jej uzasadnienie spośród 1., 2. albo 3.

Poprawna odpowiedź: Tak — wśród dowolnych pięciu kolejnych liczb całkowitych jest co najmniej jedna liczba podzielna przez 5 i co najmniej jedna liczba parzysta.

Zadanie 6 (1 pkt)

Podatek od dochodów za rok 2016 w Polsce był obliczany według sposobów przedstawionych w poniższej tabeli.

Rysunek do zadania 6

Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Zadanie 7 (1 pkt)

Do liczby -10 dodajemy 5.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Otrzymany wynik jest liczbą

  1. A. większą od 1.
  2. B. dodatnią mniejszą od 1.
  3. C. mniejszą od -8.
  4. D. ujemną większą od -8.

Poprawna odpowiedź: A

Zadanie 8 (1 pkt)

Trójki liczb naturalnych a, b i c, które spełniają warunek a2 + b2 = c2, nazywamy trójkami pitagorejskimi. Niektóre z nich znajdujemy z wykorzystaniem wzorów:

a = 2n + 1 b = 2nn + 1 c = 2n2 + 2n + 1,

gdzie n oznacza dowolną liczbę naturalną n ≥ 1. W zadaniach 8. i 9. liczby a, b i c są wyznaczone za pomocą tych wzorów.

Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Zadanie 9 (1 pkt)

Trójki liczb naturalnych a, b i c, które spełniają warunek a2 + b2 = c2, nazywamy trójkami pitagorejskimi. Niektóre z nich znajdujemy z wykorzystaniem wzorów:

a = 2n + 1 b = 2nn + 1 c = 2n2 + 2n + 1,

gdzie n oznacza dowolną liczbę naturalną n ≥ 1. W zadaniach 8. i 9. liczby a, b i c są wyznaczone za pomocą tych wzorów.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Jeżeli najmniejsza z liczb a, b i c jest równa 9, to największa z tych liczb jest równa

  1. A. 41
  2. B. 73
  3. C. 145
  4. D. 181

Poprawna odpowiedź: A

Zadanie 10 (1 pkt)

Ala kupiła trzy zeszyty i blok rysunkowy. Średnia arytmetyczna cen tych czterech artykułów była równa 6 zł. Zeszyty kosztowały łącznie 15 zł.

Ile kosztował blok rysunkowy? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

  1. A. 4 zł
  2. B. 5 zł
  3. C. 8 zł
  4. D. 9 zł

Poprawna odpowiedź: D

Zadanie 11 (1 pkt)

W pewnej loterii wśród 150 losów co szósty był wygrywający, a pozostałe losy były puste. Wyciągnięto 30 losów i żaden z nich nie był wygrywający.

Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Zadanie 12 (1 pkt)

W trójkącie ABC narysowano dwie wysokości: CD i AE, jak na rysunku. Kąt rozwarty pomiędzy tymi wysokościami jest równy 138°.

Rysunek do zadania 12

Jaką miarę ma kąt α zaznaczony na rysunku? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

  1. A. 38°
  2. B. 42°
  3. C. 45°
  4. D. 48°

Poprawna odpowiedź: D

Zadanie 13 (1 pkt)

Listewkę o długości 50 cm planowano pociąć na równe części. Iwona zaproponowała podział na kawałki po 5 cm i zaznaczyła na listewce czerwonym kolorem linie cięcia. Agata chciała podzielić tę samą listewkę na części po 2 cm i linie cięcia zaznaczyła na zielono.

Ile razy linia czerwona pokrywała się z linią zieloną? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

  1. A. 5
  2. B. 4
  3. C. 3
  4. D. 2

Poprawna odpowiedź: B

Zadanie 14 (1 pkt)

Skrzynia ma kształt prostopadłościanu. Podłoga skrzyni ma wymiary 1,5 m i 1,2 m, a wysokość skrzyni jest równa 1 m. Piasek wsypany do skrzyni zajmuje 34 jej pojemności.

Ile metrów sześciennych piasku wsypano do skrzyni? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

  1. A. 1,8 m3
  2. B. 0,45 m3
  3. C. 1,35 m3
  4. D. 2,4 m3

Poprawna odpowiedź: C

Zadanie 15 (1 pkt)

Staś ma dwa jednakowe klocki w kształcie ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, każdy o polu powierzchni całkowitej 80 cm2. Podstawa i ściana boczna klocka mają równe pola. Staś skleił oba klocki podstawami tak, jak na rysunku.

Rysunek do zadania 15

Jakie pole powierzchni ma bryła otrzymana przez Stasia? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

  1. A. 112 cm2
  2. B. 128 cm2
  3. C. 144 cm2
  4. D. 160 cm2

Poprawna odpowiedź: B

Zadanie 16 (2 pkt)

Paweł powiedział, że podzieli tabliczkę czekolady w taki sposób, że bratu przypadnie 12 całej tabliczki, siostrze 512 całej tabliczki, a jemu 16 całej tabliczki. Czy taki podział tabliczki czekolady jest możliwy? Uzasadnij swoją odpowiedź.

Sposób I

  1. Obliczymy łączną wartość zaplanowanych części tabliczki: 12 + 512 + 16 = 612 + 512 + 212 = 1312
  2. 1312 > 1, czyli suma części jest większa od całej tabliczki.
  3. Odpowiedź: Taki podział tabliczki czekolady nie jest możliwy.

Sposób II

  1. Część pozostała dla Pawła i jego siostry: 1 - 12 = 12
  2. Część pozostała dla Pawła po odjęciu części siostry: 12 - 512 = 112
  3. 112 < 16, więc Pawłowi nie wystarczy tabliczki na zaplanowaną dla niego część 16.
  4. Odpowiedź: Taki podział tabliczki czekolady nie jest możliwy.

Zasady oceniania

  • 2 pkt — Poprawne uzasadnienie, że podział jest niemożliwy, np. zapisanie łącznej wartości części jako 1312 > 1 LUB wyznaczenie części pozostałej dla dwojga rodzeństwa i pozostałej części, oraz poprawny wniosek.
  • 1 pkt — Poprawny sposób obliczenia łącznej wartości wszystkich części wskazanych przez Pawła LUB poprawny sposób obliczenia części dla dwojga rodzeństwa i pozostałej części 112 albo 13 albo 512, bez pełnego wniosku.

Zadanie 17 (3 pkt)

Adam mieszka w miejscowości Bocianowo, a jego kolega Bartek – w miejscowości Żabno. Adam umówił się z Bartkiem w Żabnie na godzinę 18:00. Wyjechał z Bocianowa na skuterze o godzinie 17:20. Średnia prędkość jazdy Adama była równa 25 kmh. Na kwadratowej siatce Adam przedstawił schemat trasy, którą jechał.

Rysunek do zadania 17

O której godzinie Adam dotarł na spotkanie z Bartkiem? Zapisz obliczenia.

Sposób I

  1. Odcinek Bocianowo–Stawisko ma długość 3 km, a Stawisko–Bajorko wyznaczymy z twierdzenia Pitagorasa: x2 = 42 + 32 = 25, więc x = 5 km.
  2. Odcinek Bajorko–Żabno ma długość 7 km.
  3. Długość całej drogi: 3 + 5 + 7 = 15 km.
  4. Czas jazdy: t = 15 km / 25 kmh = 35 h = 36 min
  5. Godzina przybycia: 17:20 + 36 min = 17:56
  6. Odpowiedź: Adam dotarł na spotkanie z Bartkiem o godzinie 17:56.

Sposób II

  1. Długość drogi: 3 + 5 + 7 = 15 km odcinek Stawisko–Bajorko = 5 km z twierdzenia Pitagorasa.
  2. Z proporcji: 25 km – 60 min, 5 km – 12 min, 15 km – 36 min.
  3. Godzina przybycia: 17:20 + 36 min = 17:56
  4. Odpowiedź: Adam dotarł na spotkanie z Bartkiem o godzinie 17:56.

Zasady oceniania

  • 3 pkt — Poprawny sposób wyznaczenia godziny przybycia, prawidłowe obliczenia oraz prawidłowy wynik 17:56.
  • 2 pkt — Poprawny sposób wyznaczenia czasu przejazdu z Bocianowa do Żabna: poprawny związek między prędkością, drogą i czasem oraz poprawne obliczenie drogi trzy odcinki, w tym odcinek Stawisko–Bajorko = 5 km z twierdzenia Pitagorasa.
  • 1 pkt — Poprawne wyznaczenie długości odcinka Stawisko–Bajorko 5 km LUB poprawne obliczenie czasu przejazdu co najmniej jednego poprawnie wyznaczonego odcinka, LUB poprawny sposób obliczenia drogi przebytej w ciągu 23 godziny.

Zadanie 18 (2 pkt)

Ania chciała kupić 10 jednakowych puszek karmy dla psa, ale zabrakło jej 11 złotych. Kupiła 6 takich puszek karmy i zostało jej 3,40 złotych. Ile kosztuje jedna puszka karmy? Zapisz obliczenia.

Sposób I

  1. x – cena w zł jednej puszki karmy.
  2. Kwota, którą ma Ania, wyrażona na dwa sposoby: 10x - 11 = 6x + 3,40
  3. 4x = 14,40
  4. x = 3,60
  5. Odpowiedź: Jedna puszka karmy dla psa kosztuje 3,60 zł.

Sposób II

  1. Różnica między zakupem 10 a 6 puszek to 4 puszki, a różnica kwot: 11 + 3,40 = 14,40 zł.
  2. Cena jednej puszki: 14,40 : 4 = 3,60 zł
  3. Odpowiedź: Jedna puszka karmy dla psa kosztuje 3,60 zł.

Zasady oceniania

  • 2 pkt — Poprawne równanie z jedną niewiadomą lub poprawne wyrażenia arytmetyczne, prawidłowe obliczenia oraz prawidłowy wynik 3,60 zł. Alternatywnie pełna metoda prób i błędów ze wskazaniem 3,60 zł.
  • 1 pkt — Zapisanie poprawnego równania z jedną niewiadomą np. 10x - 11 = 6x + 3,40 lub poprawnych wyrażeń arytmetycznych prowadzących do ceny puszki, LUB równania prowadzącego do kwoty posiadanej przez Anię.

Zadanie 19 (3 pkt)

Dany jest prostokąt ABCD o wymiarach 12 cm i 16 cm. Odcinek AC jest przekątną tego prostokąta. Odcinek DS jest wysokością trójkąta ACD patrz rysunek.

Rysunek do zadania 19

Oblicz długość odcinka DS. Zapisz obliczenia.

Sposób I

  1. Długość przekątnej AC z twierdzenia Pitagorasa: AC2 = 122 + 162 = 144 + 256 = 400, więc AC = 20 cm.
  2. Pole trójkąta ACD można zapisać na dwa sposoby z przyprostokątnych oraz z podstawą AC i wysokością DS:
  3. 12 · 12 · 16 = 12 · 20 · DS
  4. 96 = 10 · DS, więc DS = 9,6 cm
  5. Odpowiedź: Długość odcinka DS jest równa 9,6 cm.

Zasady oceniania

  • 3 pkt — Poprawny sposób wyznaczenia długości odcinka DS, prawidłowe obliczenia oraz prawidłowy wynik 9,6 cm.
  • 2 pkt — Poprawny sposób wyznaczenia długości DS: porównanie pola trójkąta ACD zapisanego z przyprostokątnych z polem zapisanym z podstawą AC wyznaczoną poprawnie i wysokością DS.
  • 1 pkt — Poprawne obliczenie długości przekątnej AC 20 cm LUB poprawny sposób wyznaczenia pola trójkąta ACD 96 cm2, LUB pola trójkąta CDE 48 cm2.
Przećwicz ten arkusz w aplikacji →

Pozostałe arkusze CKE

Zobacz też: zadania z rozwiązaniami według działów →