matE8.pl

Egzamin ósmoklasisty z matematyki — czerwiec 2019 — arkusz CKE z rozwiązaniami

CKE 2019 czerwiec, dodatkowy · 21 zadań · 30 punktów · 100 minut · egzamin 2019-06-04

Poniżej cały arkusz egzaminacyjny z matematyki wraz z odpowiedziami do zadań zamkniętych oraz rozwiązaniami krok po kroku i zasadami oceniania dla zadań otwartych.

Rozwiąż ten arkusz online i sprawdź swój wynik →

Zadanie 1 (1 pkt)

Informacje do zadań 1. i 2. Na obozie sportowym przebywali uczniowie z klas IV, V, VI i VII. Liczbę uczestników obozu z poszczególnych klas przedstawiono na diagramie 1. Każdy z uczestników obozu uprawia jedną z trzech dyscyplin lekkoatletycznych: biegi, rzuty, skoki. Na diagramie 2. przedstawiono, jaka część uczniów trenuje poszczególne dyscypliny.

Rysunek do zadania 1

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wśród wszystkich uczestników obozu 28% stanowili uczniowie z klas

  1. A. czwartych.
  2. B. piątych.
  3. C. szóstych.
  4. D. siódmych.

Poprawna odpowiedź: C

Zadanie 2 (1 pkt)

Informacje do zadań 1. i 2. — patrz diagramy przy zadaniu 1.

Rysunek do zadania 2

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F — jeśli jest fałszywe.

Skoki trenuje więcej osób niż rzuty.Prawda
Biegi trenuje o 10 osób więcej niż skoki.Prawda

Zadanie 3 (1 pkt)

Podczas lekcji matematyki uczniowie zaokrąglali liczbę 0,84631. Adam zaokrąglił tę liczbę do części dziesiątych, Bartek – do części setnych, Magda – do części tysięcznych, a Zosia – do części dziesięciotysięcznych.

Które z dzieci otrzymało największą liczbę? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

  1. A. Adam.
  2. B. Bartek.
  3. C. Magda.
  4. D. Zosia.

Poprawna odpowiedź: B

Zadanie 4 (1 pkt)

Rowerzysta wyruszył w trasę o godzinie 10:45, a do celu przyjechał o godzinie 14:05. Jego prędkość średnia na całej trasie była równa 15 kmh.

Jaki dystans przejechał rowerzysta? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

  1. A. 48 km
  2. B. 50 km
  3. C. 51 km
  4. D. 55 km

Poprawna odpowiedź: B

Zadanie 5 (1 pkt)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wyrażenie x - 24x - 3 - x1 - x po uproszczeniu jest równe

  1. A. 5x2 - x - 6
  2. B. 5x2 - 9x + 6
  3. C. 5x2 - 12x + 6
  4. D. 3x2 - x - 6

Poprawna odpowiedź: C

Zadanie 6 (1 pkt)

Na rysunku przedstawiono kształt i wymiary elementu układanki, w którym sąsiednie boki są do siebie prostopadłe.

Rysunek do zadania 6

Z takich elementów zbudowano dwie figury przedstawione na poniższym rysunku.

Rysunek do zadania 6

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F — jeśli jest fałszywe.

Obwód figury I jest o 2b większy od obwodu figury II.Fałsz
Pole figury II jest równe 12a2.Prawda

Zadanie 7 (1 pkt)

Wydajność dużej pompy strażackiej to 24 000 litrów wody na minutę, natomiast wydajność małej pompy to 1200 litrów wody na minutę. Mała pompa w ciągu 1 godziny pracy zużywa 0,931 litra paliwa.

Uzupełnij poniższe zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Zadanie 8 (1 pkt)

Na poniższej osi liczbowej literami k, l, m, n oznaczono cztery kolejne liczby całkowite. Jedna z tych liczb jest równa 0. Kropką oznaczono liczbę 41.

Rysunek do zadania 8

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Na osi liczbowej liczbę 0 oznaczono literą

  1. A. k.
  2. B. l.
  3. C. m.
  4. D. n.

Poprawna odpowiedź: C

Zadanie 9 (1 pkt)

Dane są punkty o współrzędnych: A = 2, 1, B = 4, 9, C = -2, 5, D = 8, 5.

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F — jeśli jest fałszywe.

Środek odcinka AB ma współrzędne 3, 5.Prawda
Środek odcinka AB jest także środkiem odcinka CD.Prawda

Zadanie 10 (1 pkt)

W prostokątnym układzie współrzędnych zaznaczono wierzchołki trójkąta prostokątnego ABC patrz: rysunek.

Rysunek do zadania 10

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Przeciwprostokątna trójkąta ABC ma długość

  1. A. 39
  2. B. 10
  3. C. 89
  4. D. 13

Poprawna odpowiedź: C

Zadanie 11 (1 pkt)

Rzucono czterema symetrycznymi sześciennymi kostkami do gry. Na 20 widocznych ścianach tych czterech kostek suma oczek jest równa 76. Za niewidoczną uznano ścianę, na której kostka stoi.

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F — jeśli jest fałszywe.

Na każdej z niewidocznych ścian tych kostek jest jedno oczko.Fałsz
Na niewidocznej ścianie jednej z tych kostek może być pięć oczek.Prawda

Zadanie 12 (1 pkt)

Na rysunku przedstawiono dwa trójkąty oraz podano niektóre ich wymiary i miary kilku kątów.

Rysunek do zadania 12

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F — jeśli jest fałszywe.

Te trójkąty są równoramienne.Fałsz
Te trójkąty są przystające.Prawda

Zadanie 13 (1 pkt)

W trójkącie ABC, w którym AC = BC, poprowadzono wysokość CD. Obwód trójkąta ACD jest równy 24 cm, a obwód trójkąta ABC jest równy 36 cm.

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F — jeśli jest fałszywe.

Obwód trójkąta BCD jest równy 18 cm.Fałsz
Wysokość CD ma długość 6 cm.Prawda

Zadanie 14 (1 pkt)

Na rysunku przedstawiono fragment siatki prostopadłościanu oraz podano długości niektórych jego krawędzi.

Rysunek do zadania 14

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Suma długości wszystkich krawędzi prostopadłościanu jest równa

  1. A. 12
  2. B. 39
  3. C. 48
  4. D. 74

Poprawna odpowiedź: C

Zadanie 15 (1 pkt)

Z sześciu jednakowych sześciennych klocków o krawędzi 1 cm zbudowano bryłę I. Następnie z bryły tej usunięto dwa sześciany i otrzymano bryłę II patrz: rysunki.

Rysunek do zadania 15

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole powierzchni bryły II jest mniejsze od pola powierzchni bryły I o

  1. A. 2 cm2
  2. B. 4 cm2
  3. C. 7 cm2
  4. D. 10 cm2
  5. E. 12 cm2

Poprawna odpowiedź: B

Zadanie 16 (2 pkt)

We wtorek w kwiaciarni obowiązywały ceny: róża — 8 zł, goździk — 3 zł, gerbera — 5 zł, tulipan — 3 zł. Za dodatki użyte do wykonania bukietu dolicza się 20% wartości kwiatów, z których wykonano ten bukiet.

Ile zapłaci tego dnia klient za bukiet złożony z 3 tulipanów, 2 róż i 5 goździków? Zapisz obliczenia.

Sposób I

  1. Obliczamy koszt kwiatów w bukiecie: 3 · 3 + 2 · 8 + 5 · 3 = 9 + 16 + 15 = 40 zł.
  2. Doliczamy 20% za dodatki: 1,2 · 40 = 48 zł.
  3. Odpowiedź: Klient we wtorek za taki bukiet zapłaci 48 zł.

Sposób II (ceny z dodatkami)

  1. tulipan: 3 · 1,2 = 3,6 zł, róża: 8 · 1,2 = 9,6 zł, goździk: 3 · 1,2 = 3,6 zł.
  2. 3 · 3,6 + 2 · 9,6 + 5 · 3,6 = 10,8 + 19,2 + 18 = 48 zł
  3. Odpowiedź: Klient we wtorek za taki bukiet zapłaci 48 zł.

Zasady oceniania

  • 2 pkt — Pełne rozwiązanie: obliczenie kosztu bukietu 48 zł.
  • 1 pkt — Poprawna metoda obliczenia kosztu bukietu.

Zadanie 17 (2 pkt)

Pan Jan wybrał z bankomatu 2900 zł. Na tę kwotę składały się łącznie 22 banknoty 200-złotowe i 100-złotowe.

Ile banknotów 100-złotowych pan Jan wybrał z bankomatu? Zapisz obliczenia.

Sposób I (równanie)

  1. x — liczba banknotów 100-złotowych, 22 - x — liczba banknotów 200-złotowych.
  2. 100x + 200 · 22 - x = 2900
  3. 100x + 4400 - 200x = 2900, więc -100x = -1500 i x = 15.
  4. Odpowiedź: Pan Jan wybrał z bankomatu 15 banknotów 100-złotowych.

Sposób II (nadwyżka)

  1. Gdyby wszystkie banknoty były 100-złotowe, łączna wartość wynosiłaby 22 · 100 = 2200 zł.
  2. To o 700 zł mniej niż 2900 zł, a każdy banknot 200-złotowy dokłada 100 zł, więc było 700 : 100 = 7 banknotów 200-złotowych.
  3. 22 - 7 = 15
  4. Odpowiedź: Pan Jan wybrał z bankomatu 15 banknotów 100-złotowych.

Zasady oceniania

  • 2 pkt — Pełne rozwiązanie: obliczenie liczby banknotów 100-złotowych 15.
  • 1 pkt — Przedstawienie poprawnego sposobu wyznaczenia liczby banknotów 100-złotowych.

Zadanie 18 (2 pkt)

W trójkącie równoramiennym ABC, w którym AC = BC, poprowadzono dwie wysokości: AD i CE. Na rysunku przedstawiono ten trójkąt i zaznaczono w nim niektóre kąty.

Rysunek do zadania 18

Uzasadnij, że kąt α ma miarę 110°.

Sposób I (suma kątów w czworokącie)

  1. Wysokość CE trójkąta równoramiennego dzieli kąt ACB na połowy, więc kąt ACE = 20°.
  2. W trójkącie ACE: kąt BAC = 180° - 90° - 20° = 70°.
  3. Niech S będzie punktem przecięcia wysokości AD i CE. W czworokącie z kątami prostymi przy E i D suma kątów wynosi 360°.
  4. α = 360° - 2 · 90° - 70° = 110°

Sposób II (kąt przyległy)

  1. Trójkąt ABC jest równoramienny, więc kąt ACE = kąt ECB = 20°.
  2. W trójkącie SDC S — punkt przecięcia wysokości: kąt CSD = 180° - 90° - 20° = 70°.
  3. Kąt α jest przyległy do kąta CSD, zatem α = 180° - 70° = 110°.

Zasady oceniania

  • 2 pkt — Pełne rozwiązanie: uzasadnienie, że α = 110°.
  • 1 pkt — Wykazanie, że kąt ABC = 70° sposób I LUB że kąt CSD = 70° sposób II.

Zadanie 19 (3 pkt)

Bilet normalny na koncert kosztuje 45 zł, a cena biletu ulgowego stanowi 59 ceny biletu normalnego. Janek zakupił pięć razy więcej biletów normalnych niż biletów ulgowych. Za wszystkie bilety zapłacił 500 zł.

Ile biletów każdego rodzaju Janek zakupił? Zapisz obliczenia.

Sposób I (równanie)

  1. Cena biletu ulgowego: 59 · 45 = 25 zł.
  2. x — liczba biletów ulgowych, 5x — liczba biletów normalnych.
  3. Wartość biletów ulgowych: 25x, wartość biletów normalnych: 5x · 45 = 225x.
  4. 25x + 225x = 500, więc 250x = 500 i x = 2.
  5. 5x = 5 · 2 = 10
  6. Odpowiedź: Janek zakupił 10 biletów normalnych i 2 bilety ulgowe.

Sposób II (grupowanie)

  1. Cena biletu ulgowego: 59 · 45 = 25 zł.
  2. Na każde 6 biletów przypada 5 normalnych i 1 ulgowy: 5 · 45 + 25 = 225 + 25 = 250 zł.
  3. 500 : 250 = 2 takie grupy.
  4. Biletów normalnych: 5 · 2 = 10, ulgowych: 1 · 2 = 2.
  5. Odpowiedź: Janek zakupił 10 biletów normalnych i 2 bilety ulgowe.

Zasady oceniania

  • 3 pkt — Rozwiązanie pełne: obliczenie liczby zakupionych biletów normalnych i ulgowych.
  • 2 pkt — Poprawny sposób obliczenia liczby zakupionych biletów normalnych lub ulgowych.
  • 1 pkt — Poprawny sposób obliczenia ceny biletu ulgowego.

Zadanie 20 (3 pkt)

Duży prostokąt przedstawiony na rysunku jest podzielony na osiem małych przystających prostokątów.

Rysunek do zadania 20

Oblicz obwód dużego prostokąta. Zapisz obliczenia.

Sposób I

  1. Zauważamy, że w małym prostokącie jeden bok jest 3 razy dłuższy od drugiego.
  2. Krótszy bok małego prostokąta: 8,4 : 4 = 2,1.
  3. Dłuższy bok małego prostokąta: 3 · 2,1 = 6,3.
  4. Drugi bok dużego prostokąta: 6 · 2,1 = 12,6.
  5. Obwód dużego prostokąta: 2 · 12,6 + 2 · 8,4 = 25,2 + 16,8 = 42
  6. Odpowiedź: Obwód dużego prostokąta jest równy 42.

Sposób II (zliczanie odcinków)

  1. Zauważamy, że w małym prostokącie jeden bok jest 3 razy dłuższy od drugiego.
  2. Krótszy bok małego prostokąta: 8,4 : 4 = 2,1.
  3. Obwód dużego prostokąta składa się z 20 odcinków o długości 2,1.
  4. 20 · 2,1 = 42
  5. Odpowiedź: Obwód dużego prostokąta jest równy 42.

Zasady oceniania

  • 3 pkt — Rozwiązanie pełne: poprawne obliczenie obwodu prostokąta 42.
  • 2 pkt — Wyznaczenie długości drugiego boku prostokąta 12,6 LUB zauważenie, że obwód składa się z 20 odcinków o długości 2,1, LUB z 4 odcinków o długości 6,3 i 8 odcinków o długości 2,1.
  • 1 pkt — Zauważenie, że w małym prostokącie jeden bok jest 3 razy dłuższy od drugiego LUB obliczenie długości jednego boku małego prostokąta 2,1 lub 6,3.

Zadanie 21 (3 pkt)

Przedstawione na rysunku trójkąt prostokątny równoramienny oraz kwadrat mają równe pola. Przeciwprostokątna trójkąta ma długość 6·2, a bok kwadratu ma długość x.

Rysunek do zadania 21

Oblicz obwód kwadratu. Zapisz obliczenia.

Sposób I (twierdzenie Pitagorasa)

  1. Niech a będzie długością ramienia trójkąta: 2a2 = 6·22 = 72, więc a2 = 36 i a = 6.
  2. Pole trójkąta: P = 6 · 6 : 2 = 18.
  3. Pole kwadratu: 18 = x2, więc x = 18 = 3·2.
  4. Obwód kwadratu: 4 · 3·2 = 12·2
  5. Odpowiedź: Obwód tego kwadratu jest równy 12·2.

Sposób II (pole z przeciwprostokątnej)

  1. Wysokość opuszczona na przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego równoramiennego jest równa połowie przeciwprostokątnej.
  2. Pole trójkąta: 6·2 · 6·2 : 2 : 2 = 72 : 4 = 18.
  3. Pole kwadratu: 18 = x2, więc x = 3·2.
  4. Obwód kwadratu: 4 · 3·2 = 12·2
  5. Odpowiedź: Obwód tego kwadratu jest równy 12·2.

Zasady oceniania

  • 3 pkt — Pełne rozwiązanie: obliczenie obwodu kwadratu 12·2.
  • 2 pkt — Przedstawienie poprawnego sposobu wyznaczenia długości boku kwadratu.
  • 1 pkt — Przedstawienie poprawnego sposobu wyznaczenia długości przyprostokątnych trójkąta LUB poprawnego sposobu obliczenia pola trójkąta.
Przećwicz ten arkusz w aplikacji →

Pozostałe arkusze CKE

Zobacz też: zadania z rozwiązaniami według działów →