matE8.pl

Egzamin ósmoklasisty z matematyki — styczeń 2026 — arkusz CKE z rozwiązaniami

CKE 2026 styczeń, arkusz próbny · 20 zadań · 30 punktów · 125 minut · egzamin 2026-01-13

Poniżej cały arkusz egzaminacyjny z matematyki wraz z odpowiedziami do zadań zamkniętych oraz rozwiązaniami krok po kroku i zasadami oceniania dla zadań otwartych.

Rozwiąż ten arkusz online i sprawdź swój wynik →

Zadanie 1 (1 pkt)

Na diagramie przedstawiono zysk pewnej firmy w kolejnych kwartałach 2024 roku.

Rysunek do zadania 1

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F — jeśli jest fałszywe.

Zysk tej firmy w I kwartale stanowi 16 zysku z całego roku 2024.Fałsz
Zysk tej firmy w drugim półroczu 2024 roku był o 350 tysięcy złotych większy niż jej zysk w pierwszym półroczu 2024 roku.Prawda

Zadanie 2 (1 pkt)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość wyrażenia 43 - 82 : 24 jest równa

  1. A. 0
  2. B. 10
  3. C. 56
  4. D. 60

Poprawna odpowiedź: D

Zadanie 3 (1 pkt)

Dane jest wyrażenie 0,75 · 8 + 8 · 12 : -2.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość tego wyrażenia jest równa

  1. A. -5
  2. B. -3,5
  3. C. 3,5
  4. D. 5

Poprawna odpowiedź: A

Zadanie 4 (1 pkt)

Uczniowie trzech klas: 8A, 8B i 8C, zebrali łącznie 132,9 kg makulatury. Uczniowie klas 8A i 8B zebrali łącznie 90,6 kg makulatury, a uczniowie klas 8B i 8C zebrali łącznie 86,8 kg makulatury.

Ile kilogramów makulatury zebrali uczniowie klasy 8B? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

  1. A. 43,4
  2. B. 44,3
  3. C. 44,5
  4. D. 47,2

Poprawna odpowiedź: C

Zadanie 5 (1 pkt)

Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Zadanie 6 (1 pkt)

Aleks kupił jeden komplet słuchawek bezprzewodowych, dwie jednakowe ładowarki i dwa jednakowe dyski USB. Jeden dysk USB był 2 razy tańszy od ładowarki, a komplet słuchawek bezprzewodowych był 4 razy droższy od jednej ładowarki.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Jeżeli przez x oznaczymy cenę jednej ładowarki, to wartość zakupów Aleksa opiszemy wyrażeniem

  1. A. 10,5x
  2. B. 7x
  3. C. 6,5x
  4. D. 6x

Poprawna odpowiedź: B

Zadanie 7 (1 pkt)

Dane są trzy liczby: x = 5,27 · 10(-3), y = 0,0023, z = 1400 · 10(-5). Uporządkowano te liczby w kolejności od najmniejszej do największej.

Który zapis przedstawia poprawny sposób uporządkowania liczb x, y, z? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

  1. A. x < y < z
  2. B. y < x < z
  3. C. z < y < x
  4. D. x < z < y

Poprawna odpowiedź: B

Zadanie 8 (1 pkt)

Na osi liczbowej zaznaczono punkty K, L i M. Odcinek KM jest podzielony na 10 równych części zobacz rysunek.

Rysunek do zadania 8

Z liczb, które są współrzędnymi punktów K, L i M, utworzono sumy: I. K + L + M II. K + L III. K + M IV. L + M

Która z utworzonych sum jest liczbą podzielną przez 9? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

  1. A. I
  2. B. II
  3. C. III
  4. D. IV

Poprawna odpowiedź: D

Zadanie 9 (1 pkt)

Trójkąty ABC i ABD są równoramienne. Miara kąta między ramionami trójkąta ABC jest równa 80°, a miara kąta między ramionami trójkąta ABD jest równa 40°. Punkt S jest punktem przecięcia odcinków AC i BD zobacz rysunek.

Rysunek do zadania 9

Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Zadanie 10 (1 pkt)

Na tablicy zapisano osiem liczb całkowitych dodatnich, których średnia arytmetyczna jest równa 9.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Po dopisaniu do tych ośmiu liczb dodatkowej liczby równej 9 średnia arytmetyczna

  1. A. wzrośnie o 1.
  2. B. zmaleje o 1.
  3. C. się nie zmieni.
  4. D. wzrośnie o 9.

Poprawna odpowiedź: C

Zadanie 11 (1 pkt)

Dany jest prostokąt ABCD o bokach długości 4 cm i 9 cm. Ten prostokąt narysowano w skali 2 : 1 i otrzymano prostokąt EFGH.

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F — jeśli jest fałszywe.

Obwód prostokąta EFGH jest dwukrotnie większy od obwodu prostokąta ABCD.Prawda
Pole prostokąta EFGH jest równe 144 cm2.Prawda

Zadanie 12 (1 pkt)

Z kart w kształcie trójkąta równobocznego o boku długości 2 cm układano figury w sposób przedstawiony na rysunku.

Rysunek do zadania 12

Ile takich trójkątów należy ułożyć, aby otrzymać trapez o obwodzie równym 42 cm? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

  1. A. 7
  2. B. 11
  3. C. 19
  4. D. 21

Poprawna odpowiedź: C

Zadanie 13 (1 pkt)

Informacja do zadań 13.–14. Adam zbudował dwa prostopadłościany. Pierwszy prostopadłościan ma wymiary 5, 6, 10. Drugi prostopadłościan ma wymiary 6, 6, 10.

Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Zadanie 14 (1 pkt)

Informacja do zadań 13.–14. Adam zbudował dwa prostopadłościany: pierwszy o wymiarach 5, 6, 10, drugi o wymiarach 6, 6, 10. Adam ustawił te prostopadłościany jeden na drugim tak, że powstał większy prostopadłościan.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole powierzchni całkowitej otrzymanego prostopadłościanu jest równe

  1. A. 412
  2. B. 472
  3. C. 532
  4. D. 592

Poprawna odpowiedź: B

Zadanie 15 (2 pkt)

Dana jest liczba a = 2·3 · 10 / 6.

Wyznacz dwie kolejne liczby całkowite dodatnie, między którymi na osi liczbowej znajduje się liczba a. Zapisz obliczenia.

Sposób I (uproszczenie i szacowanie pierwiastkiem)

  1. a = 2·3·10 / 6 = 2·3·2·52·3 = 2·5 = 20.
  2. Szukamy kolejnych liczb naturalnych: 16 < 20 < 25.
  3. 16 = 4, 25 = 5
  4. Odpowiedź: Liczba a znajduje się między liczbami 4 oraz 5.

Sposób II (szacowanie dziesiętne)

  1. a = 2·30 / 6 = 2·5.
  2. Szacujemy 5: 2,22 = 4,84 oraz 2,32 = 5,29, więc 2,2 < 5 < 2,3.
  3. Stąd 4,4 < 2·5 < 4,6.
  4. Odpowiedź: Liczba a znajduje się między liczbami 4 oraz 5.

Zasady oceniania

  • 2 pkt — Poprawny sposób wyznaczenia dwóch kolejnych liczb naturalnych, prawidłowe obliczenia oraz prawidłowy wynik 4 oraz 5.
  • 1 pkt — Poprawny sposób obliczenia liczby a.

Zadanie 16 (3 pkt)

Drużynę harcerską można podzielić na 4-osobowe zespoły. Gdyby ta drużyna liczyła o 3 osoby mniej, to wtedy harcerzy można by podzielić na zespoły 5-osobowe. Liczba zespołów 5-osobowych byłaby o 2 mniejsza od liczby zespołów 4-osobowych.

Oblicz, ile osób jest w tej drużynie harcerskiej. Zapisz obliczenia.

Sposób I (niewiadoma: liczba zespołów)

  1. x — liczba zespołów 4-osobowych, więc drużyna liczy 4x osób.
  2. Gdyby było o 3 osoby mniej 4x - 3, powstałoby x - 2 zespołów po 5 osób.
  3. 4x - 3 = 5x - 2
  4. 4x - 3 = 5x - 10, więc x = 7.
  5. W drużynie jest 7 · 4 = 28 osób.
  6. Odpowiedź: W tej drużynie harcerskiej jest 28 osób.

Sposób II (niewiadoma: liczba osób)

  1. x — liczba osób w drużynie. Liczba zespołów 4-osobowych: x4, liczba zespołów 5-osobowych: x - 35.
  2. x4 = x - 35 + 2
  3. 5x = 4x - 3 + 40, czyli 5x = 4x + 28.
  4. x = 28
  5. Odpowiedź: W tej drużynie harcerskiej jest 28 osób.

Zasady oceniania

  • 3 pkt — Poprawny sposób obliczenia liczby osób w drużynie, prawidłowe obliczenia oraz prawidłowy wynik 28 osób.
  • 2 pkt — Zapisanie poprawnego równania prowadzącego do obliczenia liczby zespołów lub liczby harcerzy np. 4x = 5x - 2 + 3 albo x4 = x-35 + 2.
  • 1 pkt — Zapisanie poprawnych wyrażeń algebraicznych jednej zmiennej opisujących liczbę osób lub liczbę zespołów np. 4x oraz 5x - 2 + 3.

Zadanie 17 (3 pkt)

Kierowca pokonał drogę podzieloną na trzy odcinki I, II, III. Po przejechaniu każdego odcinka drogi zatrzymywał się na postój. Na wykresie przedstawiono zależność przebytej przez kierowcę drogi od czasu.

Rysunek do zadania 17

Oblicz, z jaką prędkością, wyrażoną w kmh, kierowca pokonał II odcinek drogi. Zapisz obliczenia.

Sposób I (wzór na prędkość)

  1. Długość II odcinka drogi: s = 200 - 120 = 80 km.
  2. Czas przejazdu II odcinka: t = 180 - 105 = 75 min = 7560 h = 54 h.
  3. v = s / t = 80 : 54 = 80 · 45 = 64 kmh
  4. Odpowiedź: Kierowca pokonał II odcinek drogi z prędkością 64 kmh.

Sposób II (proporcja)

  1. Długość II odcinka: 200 - 120 = 80 km, czas: 180 - 105 = 75 min.
  2. 80 km w 75 min, czyli x km w 60 min.
  3. x = 80 · 60 : 75 = 64 km
  4. Odpowiedź: Kierowca pokonał II odcinek drogi z prędkością 64 kmh.

Zasady oceniania

  • 3 pkt — Poprawny sposób obliczenia prędkości, prawidłowe obliczenia oraz prawidłowy wynik 64 kmh.
  • 2 pkt — Poprawny sposób obliczenia prędkości zastosowanie związku między prędkością, drogą i czasem LUB poprawne obliczenie długości II odcinka i wyrażenie czasu jako części godziny.
  • 1 pkt — Odczytanie z wykresu długości II odcinka drogi i czasu jego przejazdu 80 km i 75 minut.

Zadanie 18 (2 pkt)

Graniastosłup prawidłowy czworokątny o objętości 567 cm3 ma wysokość równą 7 cm.

Oblicz, ile cm2 ma pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa. Zapisz obliczenia.

Sposób I

  1. Graniastosłup prawidłowy czworokątny ma w podstawie kwadrat o boku a.
  2. V = a2 · H, więc a2 = 567 : 7 = 81 i a = 9 cm.
  3. Pc = 4 · 9 · 7 + 2 · 81 = 252 + 162 = 414 cm2
  4. Odpowiedź: Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa jest równe 414 cm2.

Zasady oceniania

  • 2 pkt — Poprawny sposób obliczenia pola powierzchni całkowitej, prawidłowe obliczenia oraz prawidłowy wynik 414 cm2.
  • 1 pkt — Poprawny sposób obliczenia długości krawędzi podstawy graniastosłupa 9 cm.

Zadanie 19 (3 pkt)

W rombie ABCD poprowadzono przekątną BD oraz wysokość opuszczoną z wierzchołka D na bok AB zobacz rysunek. Długość boku tego rombu jest równa 10 cm, a długość przekątnej BD jest równa 12 cm.

Rysunek do zadania 19

Oblicz wysokość rombu ABCD poprowadzoną z wierzchołka D na bok AB. Zapisz obliczenia.

Sposób I (przez pole rombu)

  1. Przekątne rombu przecinają się w połowie pod kątem prostym. Oznaczamy połowę przekątnej AC jako x.
  2. Z twierdzenia Pitagorasa: 62 + x2 = 102, więc x2 = 64 i x = 8 cm.
  3. Przekątna AC ma długość 2 · 8 = 16 cm.
  4. Pole rombu: P = BD · AC : 2 = 12 · 16 : 2 = 96 cm2.
  5. Z drugiego wzoru na pole: P = a · h, więc h = 96 : 10 = 9,6 cm.
  6. Odpowiedź: Wysokość rombu poprowadzona z wierzchołka D na bok AB jest równa 9,6 cm.

Zasady oceniania

  • 3 pkt — Poprawny sposób obliczenia wysokości rombu, prawidłowe obliczenia oraz prawidłowy wynik 9,6 cm.
  • 2 pkt — Poprawny sposób obliczenia pola rombu 96 cm2.
  • 1 pkt — Poprawny sposób obliczenia połowy długości przekątnej AC LUB ustalenie, że jest ona równa 8 cm.

Zadanie 20 (3 pkt)

Dany jest czworokąt ABCD. Przekątna BD o długości 18 dzieli ten czworokąt na dwa trójkąty prostokątne równoramienne w sposób pokazany na rysunku.

Rysunek do zadania 20

Oblicz obwód czworokąta ABCD. Zapisz obliczenia.

Sposób I (twierdzenie Pitagorasa)

  1. W trójkącie prostokątnym równoramiennym ABD przeciwprostokątną jest BD: AB2 + AD2 = 182, czyli 2·AB2 = 18.
  2. AB2 = 9, więc AB = AD = 3.
  3. W trójkącie prostokątnym równoramiennym DBC przyprostokątne mają długość 18: BC2 = 18 + 18 = 36, więc BC = 6.
  4. Obwód: AB + AD + DC + CB = 3 + 3 + 18 + 6 = 12 + 18 = 12 + 3·2.
  5. Odpowiedź: Obwód czworokąta ABCD jest równy 12 + 3·2.

Sposób II (przekątna kwadratu)

  1. Trójkąt ABD to połowa kwadratu o boku a i przekątnej 18: a·2 = 18, więc a = 3.
  2. Trójkąt DBC to połowa kwadratu o boku 18 i przekątnej d: d = 18·2 = 36 = 6.
  3. Obwód: 3 + 3 + 18 + 6 = 12 + 3·2.
  4. Odpowiedź: Obwód czworokąta ABCD jest równy 12 + 3·2.

Zasady oceniania

  • 3 pkt — Poprawny sposób obliczenia obwodu czworokąta, prawidłowe obliczenia oraz prawidłowy wynik 12 + 18, czyli 12 + 3·2.
  • 2 pkt — Poprawny sposób obliczenia długości odcinka AB oraz długości odcinka BC.
  • 1 pkt — Poprawny sposób obliczenia długości odcinka AB lub AD ALBO długości odcinka BC.
Przećwicz ten arkusz w aplikacji →

Pozostałe arkusze CKE

Zobacz też: zadania z rozwiązaniami według działów →