matE8.pl

Egzamin ósmoklasisty z matematyki — grudzień 2024 — arkusz CKE z rozwiązaniami

CKE 2024 grudzień, test diagnostyczny · 21 zadań · 30 punktów · 100 minut · egzamin 2024-12-03

Poniżej cały arkusz egzaminacyjny z matematyki wraz z odpowiedziami do zadań zamkniętych oraz rozwiązaniami krok po kroku i zasadami oceniania dla zadań otwartych.

Rozwiąż ten arkusz online i sprawdź swój wynik →

Zadanie 1 (1 pkt)

Poniżej zamieszczono fragment etykiety pewnego opakowania śmietany.

Rysunek do zadania 1

Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Zadanie 2 (1 pkt)

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F — jeśli jest fałszywe.

Wartość wyrażenia 52 · 53 · 55 jest równa 552.Prawda
Wyrażenia 23 · 336 oraz 125 : 252 mają taką samą wartość.Prawda

Zadanie 3 (1 pkt)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wyrażenie 2a - 2b - a - b2 - b + b2 można przekształcić równoważnie do postaci

  1. A. ab
  2. B. ab - 2b
  3. C. b2 - 2b - ab
  4. D. b2 - 6b + a - 2
  5. E. b2 + ab

Poprawna odpowiedź: B

Zadanie 4 (1 pkt)

Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Zadanie 5 (1 pkt)

W pudełku znajdują się kule różniące się tylko kolorem: białe, czerwone i niebieskie. Kul białych jest pięć, kul czerwonych jest trzy razy więcej niż białych, a kul niebieskich jest o pięć mniej niż czerwonych. Z pudełka losujemy jedną kulę.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe

  1. A. 12
  2. B. 13
  3. C. 15
  4. D. 16

Poprawna odpowiedź: D

Zadanie 6 (1 pkt)

Dana jest nierówność x ≥ -3.

Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x spełniających tę nierówność? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Rysunek do zadania 6
  1. A. Rysunek A.
  2. B. Rysunek B.
  3. C. Rysunek C.
  4. D. Rysunek D.

Poprawna odpowiedź: C

Zadanie 7 (1 pkt)

Uczniom klas ósmych zadano pytanie: „Z którego portalu internetowego korzystasz najczęściej?". Każdy z uczniów wskazał jeden portal. Procentowy rozkład udzielonych odpowiedzi uczniów przedstawiono na diagramie poniżej. Portal F wskazało 72 uczniów.

Rysunek do zadania 7

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F — jeśli jest fałszywe.

Portal Y wskazało 40 uczniów.Prawda
Portal I wskazało o 8 uczniów mniej niż uczniów, którzy wskazali portal S.Prawda

Zadanie 8 (1 pkt)

Dane są cztery liczby: x, y, z, a. Wiadomo, że x = 6, a = 4 oraz średnia arytmetyczna trzech liczb x, y, z jest równa 12.

Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Zadanie 9 (1 pkt)

Prostokąt ABCD podzielono prostą EF na kwadrat AEFD i prostokąt EBCF zobacz rysunek. Obwód prostokąta EBCF jest równy 36 cm, a długość boku EB jest równa 10 cm.

Rysunek do zadania 9

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole kwadratu AEFD jest równe

  1. A. 8 cm2
  2. B. 16 cm2
  3. C. 32 cm2
  4. D. 64 cm2

Poprawna odpowiedź: D

Zadanie 10 (1 pkt)

Na rysunku przedstawiono proste a, b, c, d, e oraz zaznaczono miary niektórych kątów. Proste a, b, c są wzajemnie równoległe. Proste d i e są wzajemnie prostopadłe i przecinają się w punkcie A leżącym na prostej b.

Rysunek do zadania 10

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta α jest równa

  1. A. 38°
  2. B. 45°
  3. C. 52°
  4. D. 60°

Poprawna odpowiedź: C

Zadanie 11 (1 pkt)

Dany jest romb, którego przekątne mają długość 24 cm i 18 cm.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole tego rombu jest równe

  1. A. 108 cm2
  2. B. 216 cm2
  3. C. 225 cm2
  4. D. 432 cm2

Poprawna odpowiedź: B

Zadanie 12 (1 pkt)

Na rysunku przedstawiono dwa trójkąty: ABC i KLM, podano długości boków AC i KL oraz zaznaczono miary niektórych kątów.

Rysunek do zadania 12

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F — jeśli jest fałszywe.

Trójkąt KLM nie jest równoramienny.Fałsz
Trójkąty ABC i KLM są przystające.Prawda

Zadanie 13 (1 pkt)

Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość 7. Krawędź boczna tego graniastosłupa jest dwa razy dłuższa od krawędzi podstawy.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Objętość tego graniastosłupa jest równa

  1. A. 686
  2. B. 6863
  3. C. 343
  4. D. 3433

Poprawna odpowiedź: A

Zadanie 14 (1 pkt)

Odcinkowy pomiar prędkości polega na wyznaczeniu średniej prędkości samochodu na określonym odcinku drogi. Na początku i na końcu takiego odcinka ustawiono znaki drogowe informujące o rozpoczęciu i zakończeniu pomiaru zobacz rysunek.

Rysunek do zadania 14

Samochód osobowy przejechał w 2 minuty taki odcinek drogi o długości 3 km.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wyznaczona prędkość tego samochodu na objętym pomiarem odcinku drogi była równa

  1. A. 40 kmh
  2. B. 60 kmh
  3. C. 90 kmh
  4. D. 150 kmh

Poprawna odpowiedź: C

Zadanie 15 (1 pkt)

Dany jest okrąg O, którego średnica ma długość 20 cm. Odcinek AB ma długość 12 cm i jest cięciwą tego okręgu. Punkty A i B połączono z punktem S, który jest środkiem tego okręgu zobacz rysunek.

Rysunek do zadania 15

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F — jeśli jest fałszywe.

Obwód trójkąta ASB jest równy 36 cm.Fałsz
Długość okręgu O jest równa 20π cm.Prawda

Zadanie 16 (2 pkt)

Na festyn wpuszczano uczestników jednym wejściem. Pierwszy wchodzący otrzymał i sok, i ciastko. Następnie co szósty wchodzący otrzymywał sok, a co dziesiąty wchodzący otrzymywał ciastko. To znaczy, że sok otrzymali wchodzący: pierwszy, siódmy, trzynasty itd. A ciastko otrzymali wchodzący: pierwszy, jedenasty, dwudziesty pierwszy itd. Na festyn przyszło 450 osób.

Oblicz, ilu uczestników tego festynu otrzymało i sok, i ciastko. Zapisz obliczenia.

Sposób I (NWW)

  1. Wielokrotności liczby 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, ...
  2. Wielokrotności liczby 10: 10, 20, 30, 40, ...
  3. NWW6, 10 = 30, więc i sok, i ciastko otrzymuje co 30. osoba, licząc od pierwszej 1, 31, 61, ....
  4. 450 : 30 = 15
  5. Odpowiedź: Sok i ciastko otrzymało 15 uczestników festynu.

Sposób II (wypisanie numerów)

  1. Sok otrzymali: 1, 7, 13, 19, 25, 31, 37, ...
  2. Ciastko otrzymali: 1, 11, 21, 31, 41, ...
  3. Wspólne numery: 1, 31, 61, 91, ... czyli co 30 osoba.
  4. Do 450 osób takich numerów jest 15.
  5. Odpowiedź: Sok i ciastko otrzymało 15 uczestników festynu.

Zasady oceniania

  • 2 pkt — Poprawny sposób obliczenia liczby uczestników, prawidłowe obliczenia oraz prawidłowy wynik 15.
  • 1 pkt — Poprawny sposób obliczenia NWW6, 10 LUB ustalenie, że co 30. osoba otrzyma i sok, i ciastko, LUB wypisanie numerów i wskazanie drugiego wspólnego numeru 31.

Zadanie 17 (3 pkt)

Dany jest trójkąt ABC, w którym długości boków opisano za pomocą wyrażeń algebraicznych zobacz rysunek. Długość boku AC w tym trójkącie jest równa długości boku BC.

Rysunek do zadania 17

Uzasadnij, że trójkąt ABC jest równoboczny. Zapisz obliczenia.

Sposób I

  1. Skoro AC = BC, zapisujemy równanie: 3x - 12 = 88 - 2x.
  2. 5x = 100, więc x = 20.
  3. AC = 3 · 20 - 12 = 48
  4. BC = 88 - 2 · 20 = 48
  5. AB = 1,5 · 20 + 18 = 48
  6. Wszystkie boki mają długość 48, zatem trójkąt ABC jest równoboczny.

Zasady oceniania

  • 3 pkt — Poprawny sposób obliczenia długości boków, prawidłowe obliczenia, prawidłowy wynik 48 oraz wniosek, że trójkąt ABC jest równoboczny.
  • 2 pkt — Poprawny sposób obliczenia długości jednego boku trójkąta ABC.
  • 1 pkt — Zapisanie poprawnego równania prowadzącego do obliczenia x, np. 3x - 12 = 88 - 2x.

Zadanie 18 (3 pkt)

Na rysunku przedstawiono trapez równoramienny ABCD, w którym AD = BC = 13 cm. Wysokość DE oraz krótsza podstawa CD mają długość po 12 cm.

Rysunek do zadania 18

Oblicz pole trapezu ABCD. Zapisz obliczenia.

Sposób I (wzór na pole trapezu)

  1. Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie AED: AE2 + 122 = 132, więc AE2 = 169 - 144 = 25 i AE = 5 cm.
  2. Trapez jest równoramienny, więc odcinek odcięty przy B ma także 5 cm.
  3. AB = 12 + 2 · 5 = 22 cm
  4. P = 12 + 22 · 122 = 204 cm2
  5. Odpowiedź: Pole trapezu ABCD jest równe 204 cm2.

Sposób II (podział na figury)

  1. Pole kwadratu EFCD: 122 = 144 cm2.
  2. Z twierdzenia Pitagorasa: AE = 5 cm.
  3. Pola dwóch przystających trójkątów prostokątnych: 2 · 12 · 5 · 12 = 60 cm2.
  4. P = 144 + 60 = 204 cm2
  5. Odpowiedź: Pole trapezu ABCD jest równe 204 cm2.

Zasady oceniania

  • 3 pkt — Poprawny sposób obliczenia pola trapezu, prawidłowe obliczenia oraz prawidłowy wynik 204 cm2.
  • 2 pkt — Poprawne obliczenie AE twierdzenie Pitagorasa oraz poprawny sposób obliczenia AB i pola trapezu.
  • 1 pkt — Poprawne zastosowanie twierdzenia Pitagorasa do obliczenia AE LUB zapisanie wzoru na pole trapezu z uwzględnieniem zależności między podstawami.

Zadanie 19 (3 pkt)

Marek kupił w sklepie sportowym kask narciarski, buty i narty. Kask kosztował 500 zł. Narty i kask kosztowały razem o 700 zł mniej niż narty i buty łącznie. Buty i kask kosztowały razem tyle co narty.

Oblicz, ile kosztowały narty, a ile kosztowały buty, które kupił Marek w tym sklepie. Zapisz obliczenia.

Sposób I (rozumowanie)

  1. Skoro narty i kask kosztują o 700 zł mniej niż narty i buty, to buty są o 700 zł droższe od kasku.
  2. Buty: 500 + 700 = 1200 zł.
  3. Narty kosztują tyle, co buty i kask razem: 1200 + 500 = 1700 zł.
  4. Odpowiedź: Narty kosztowały 1700 zł, a buty 1200 zł.

Sposób II (równania)

  1. n — cena nart, b — cena butów, kask = 500 zł.
  2. n + 500 = n + b - 700, stąd 500 = b - 700 i b = 1200 zł.
  3. n = b + 500 = 1200 + 500 = 1700 zł.
  4. Odpowiedź: Narty kosztowały 1700 zł, a buty 1200 zł.

Zasady oceniania

  • 3 pkt — Poprawny sposób obliczenia ceny butów oraz nart, prawidłowe obliczenia i prawidłowe wyniki buty: 1200 zł, narty: 1700 zł.
  • 2 pkt — Zapisanie poprawnych wyrażeń/równania prowadzących do obliczenia ceny butów oraz poprawny sposób obliczenia ceny nart.
  • 1 pkt — Zapisanie poprawnego wyrażenia lub równania prowadzącego do obliczenia ceny butów LUB poprawnych zależności między cenami kasku, butów i nart.

Zadanie 20 (2 pkt)

Na rysunku przedstawiono siatkę graniastosłupa prawidłowego czworokątnego oraz zapisano jeden z wymiarów tej siatki. Wysokość H tego graniastosłupa jest 1,5 razy większa od długości krawędzi podstawy.

Rysunek do zadania 20

Oblicz pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa. Zapisz obliczenia.

Sposób I

  1. Podstawą jest kwadrat o boku a. Zaznaczony wymiar 18 cm obejmuje trzy krawędzie podstawy: 3a = 18, więc a = 6 cm.
  2. H = 1,5 · 6 = 9 cm.
  3. Pole powierzchni bocznej: Pb = 4 · a · H = 4 · 6 · 9 = 216 cm2
  4. Odpowiedź: Pole powierzchni bocznej graniastosłupa jest równe 216 cm2.

Zasady oceniania

  • 2 pkt — Poprawny sposób obliczenia pola powierzchni bocznej, prawidłowe obliczenia oraz prawidłowy wynik 216 cm2.
  • 1 pkt — Poprawny sposób obliczenia długości krawędzi podstawy i wysokości graniastosłupa a = 6 cm, H = 9 cm.

Zadanie 21 (2 pkt)

Urządzenie do produkcji kostek lodu nalewa wodę do jednakowych foremek w kształcie sześcianu o pojemności 8 cm3. Wlana woda wypełnia 75% pojemności każdej foremki. Z jednej foremki zostanie wyprodukowana jedna kostka lodu.

Oblicz, ile kostek lodu wyprodukuje to urządzenie z 3000 cm3 wody. Zapisz obliczenia.

Sposób I

  1. Objętość wody w jednej foremce: 0,75 · 8 = 6 cm3.
  2. Liczba kostek: 3000 : 6 = 500
  3. Odpowiedź: Urządzenie wyprodukuje 500 kostek lodu.

Zasady oceniania

  • 2 pkt — Poprawny sposób obliczenia liczby kostek lodu, prawidłowe obliczenia oraz prawidłowy wynik 500.
  • 1 pkt — Poprawny sposób obliczenia objętości wody w jednej foremce LUB ustalenie, że jest ona równa 6 cm3.
Przećwicz ten arkusz w aplikacji →

Pozostałe arkusze CKE

Zobacz też: zadania z rozwiązaniami według działów →