matE8.pl

Egzamin ósmoklasisty z matematyki — czerwiec 2026 — arkusz CKE z rozwiązaniami

CKE 2026 czerwiec, dodatkowy · 20 zadań · 30 punktów · 125 minut · egzamin 2026-06-09

Poniżej cały arkusz egzaminacyjny z matematyki wraz z odpowiedziami do zadań zamkniętych oraz rozwiązaniami krok po kroku i zasadami oceniania dla zadań otwartych.

Rozwiąż ten arkusz online i sprawdź swój wynik →

Zadanie 1 (1 pkt)

Na stronie internetowej szkoły zamieszczono diagram słupkowy przedstawiający liczbę finalistów konkursów przedmiotowych z sześciu kolejnych lat.

Rysunek do zadania 1

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Średnia roczna liczba finalistów w okresie tych sześciu lat była równa

  1. A. 6,5
  2. B. 7
  3. C. 7,8
  4. D. 8

Poprawna odpowiedź: A

Zadanie 2 (1 pkt)

Kwotę 1800 złotych przeznaczoną na nagrody w pewnym konkursie podzielono na trzy części w stosunku 6 : 3 : 1, odpowiednio: za I, za II i za III miejsce.

Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Zadanie 3 (1 pkt)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Rozwiązaniem równania 3x + 2 = 6 - x - 1 jest liczba

  1. A. -32
  2. B. -1
  3. C. 14
  4. D. 12

Poprawna odpowiedź: C

Zadanie 4 (1 pkt)

W tabeli zapisano cztery wyrażenia arytmetyczne:

Rysunek do zadania 4

Które z tych wyrażeń ma największą wartość? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

  1. A. I
  2. B. II
  3. C. III
  4. D. IV

Poprawna odpowiedź: B

Zadanie 5 (1 pkt)

W pewnej liczbie czterocyfrowej suma cyfr jest równa 3.

Ile jest liczb czterocyfrowych spełniających ten warunek? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

  1. A. 3
  2. B. 6
  3. C. 9
  4. D. 10

Poprawna odpowiedź: D

Zadanie 6 (1 pkt)

Dane jest wyrażenie arytmetyczne

Rysunek do zadania 6

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość podanego wyrażenia jest równa

  1. A. 4
  2. B. 2
  3. C. -2
  4. D. -4

Poprawna odpowiedź: C

Zadanie 7 (1 pkt)

Trzy kolejne liczby naturalne można zapisać w postaci: n, n + 1, n + 2.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Suma każdych trzech kolejnych liczb naturalnych jest liczbą podzielną przez

  1. A. 2
  2. B. 3
  3. C. 5
  4. D. 6

Poprawna odpowiedź: B

Zadanie 8 (1 pkt)

Poniżej przedstawiono kalendarz na kwiecień w pewnym roku.

Rysunek do zadania 8

Wybieramy losowo jeden dzień tego miesiąca.

Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Zadanie 9 (1 pkt)

Dane są cztery wyrażenia arytmetyczne:

I. 1 - 223 · 3

II. 3,4 - 214

III. 334 - 4,25

IV. 6 : 1,2

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczbami całkowitymi są wartości wyrażeń

  1. A. I oraz II
  2. B. II oraz III
  3. C. I oraz IV
  4. D. III oraz IV

Poprawna odpowiedź: C

Zadanie 10 (1 pkt)

Ala wyruszyła na wycieczkę rowerową o godzinie 11:40. Przejechała trasę o długości 28 km i dotarła do celu tego samego dnia o godzinie 13:00.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Prędkość, z jaką Ala na rowerze pokonała trasę wycieczki, była równa

  1. A. 10,5 kmh
  2. B. 12 kmh
  3. C. 16,8 kmh
  4. D. 21 kmh

Poprawna odpowiedź: D

Zadanie 11 (1 pkt)

W prostokątnym układzie współrzędnych x, y dane są odcinki AB oraz CD. Końcami tych odcinków są – odpowiednio – punkty:

A = 0, 0, B = 0, 4 oraz C = -2, 0, D = 6, 0.

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F — jeśli jest fałszywe.

Odcinek AB ma taką samą długość jak odcinek CD.Fałsz
Odcinek AB jest prostopadły do odcinka CD.Prawda

Zadanie 12 (1 pkt)

Bok AD równoległoboku ABCD ma długość 6, a przekątna BD prostopadła do tego boku ma długość 8 zobacz rysunek.

Rysunek do zadania 12

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Obwód równoległoboku ABCD jest równy

  1. A. 32
  2. B. 48
  3. C. 24
  4. D. 22

Poprawna odpowiedź: A

Zadanie 13 (1 pkt)

Z ośmiu jednakowych patyczków zbudowano figurę S zobacz rysunek. Ta figura ma dwie osie symetrii w płaszczyźnie rysunku.

Rysunek do zadania 13

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F — jeśli jest fałszywe.

Po usunięciu z figury S patyczków AF i AB, bez przesuwania pozostałych patyczków, otrzymamy figurę, która ma jedną oś symetrii.Prawda
Po usunięciu z figury S patyczka FE, bez przesuwania pozostałych patyczków, otrzymamy figurę, która nie ma osi symetrii.Fałsz

Zadanie 14 (1 pkt)

Na rysunku przedstawiono siatkę pewnego sześcianu. Obwód tej siatki jest równy 70 cm.

Rysunek do zadania 14

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe

  1. A. 100 cm2
  2. B. 120 cm2
  3. C. 125 cm2
  4. D. 150 cm2

Poprawna odpowiedź: D

Zadanie 15 (2 pkt)

Na klombie rośnie 150 tulipanów. Każdy z nich ma kwiat w jednym z trzech kolorów: w czerwonym, w żółtym albo w białym. Wśród tych kwiatów 15 ma kolor czerwony i 13 ma kolor żółty. Oblicz, jaką część liczby wszystkich tulipanów stanowi liczba białych tulipanów na tym klombie. Zapisz obliczenia.

Sposób I

  1. Obliczymy, jaką część liczby wszystkich tulipanów stanowi łączna liczba czerwonych i żółtych tulipanów: 15 + 13 = 3 + 515 = 815
  2. Obliczymy, jaką część stanowi liczba białych tulipanów: 1 - 815 = 15 - 815 = 715
  3. Odpowiedź: Liczba białych tulipanów stanowi 715 liczby wszystkich tulipanów na tym klombie.

Sposób II

  1. Obliczymy liczbę czerwonych tulipanów: 150 · 15 = 30
  2. Obliczymy liczbę żółtych tulipanów: 150 · 13 = 50
  3. Obliczymy liczbę białych tulipanów: 150 - 30 - 50 = 70
  4. Obliczymy szukaną część: 70150 = 715
  5. Odpowiedź: Liczba białych tulipanów stanowi 715 liczby wszystkich tulipanów na tym klombie.

Zasady oceniania

  • 2 pkt — Poprawny sposób obliczenia szukanej części, prawidłowe obliczenia oraz prawidłowy wynik 715 lub poprawne rozwinięcie tego ułamka.
  • 1 pkt — Poprawny sposób obliczenia szukanej części np. 1 - 15 - 13 LUB liczby białych tulipanów np. 150 - 150·15 - 150·13, LUB zapisanie poprawnego równania z jedną niewiadomą, np. 15 + 13 + x = 1 albo 150·15 + 150·13 + x = 150.

Zadanie 16 (3 pkt)

Gra polega na rzucaniu piłką do kosza. Jeśli rzut jest celny, to liczba dotychczas zdobytych punktów jest zwiększana o 5 punktów. Jeśli rzut jest nietrafiony, to liczba dotychczas zdobytych punktów jest zmniejszana o 4 punkty. Janek rozpoczął grę z wynikiem 0 punktów. Liczba celnych rzutów Janka jest trzy razy większa niż liczba rzutów, w których Janek nie trafił piłką do kosza. W rezultacie Janek zgromadził 132 punkty. Oblicz, ile razy Janek trafił piłką do kosza. Zapisz obliczenia.

Sposób I

  1. Oznaczymy: x — liczba rzutów celnych, 13 x — liczba rzutów nietrafionych.
  2. Zapiszemy i rozwiążemy równanie: 5x - 43 x = 132
  3. 113 x = 132
  4. x = 132 · 311 = 36
  5. Sprawdzimy, że liczba rzutów nietrafionych jest naturalna: 13 · 36 = 12
  6. Odpowiedź: Janek trafił piłką do kosza 36 razy.

Sposób II

  1. Oznaczymy przez x liczbę rzutów nietrafionych, wtedy 3x — liczba rzutów celnych.
  2. Zapiszemy i rozwiążemy równanie: 5 · 3x - 4x = 132
  3. 15x - 4x = 132
  4. 11x = 132
  5. x = 12
  6. Obliczymy liczbę rzutów celnych: 3 · 12 = 36
  7. Odpowiedź: Janek trafił piłką do kosza 36 razy.

Zasady oceniania

  • 3 pkt — Poprawny sposób obliczenia liczby rzutów celnych, prawidłowe obliczenia oraz prawidłowy wynik 36.
  • 2 pkt — Zapisanie poprawnego równania z jedną niewiadomą, np. 5x - 43 x = 132 x = liczba rzutów celnych albo 5·3x - 4x = 132 x = liczba rzutów nietrafionych, LUB poprawnych wyrażeń 3·5 - 4 oraz 132 : 3·5 - 4.
  • 1 pkt — Zapisanie poprawnych wyrażeń algebraicznych tej samej zmiennej opisujących liczbę punktów w rzutach celnych i straconych w nietrafionych, LUB poprawnego wyrażenia 3·5 - 4.

Zadanie 17 (3 pkt)

W sklepie ogłoszono dwie promocje przy zakupie szamponu Pięć ziół zobacz rysunek.

Rysunek do zadania 17

Ola i Ania kupiły szampony Pięć ziół w cenie promocyjnej. Ola kupiła dwie butelki o pojemności 500 ml i zapłaciła 24 zł. Ania kupiła cztery butelki o pojemności 250 ml i zapłaciła 23,50 zł.

Czy w tym sklepie koszt zakupu bez promocji jednego litra szamponu Pięć ziół w butelkach o pojemności 500 ml oraz koszt zakupu bez promocji jednego litra tego szamponu w butelkach o pojemności 250 ml jest taki sam? Zapisz obliczenia.

Sposób I

  1. Obliczymy cenę bez promocji jednego litra szamponu w butelkach 500 ml. W promocji dwie butelki 160% ceny kosztują 24 zł, więc 40% ceny to 6 zł, a dwie pełne ceny 200%, czyli 1 litr to 24 + 6 = 30 zł.
  2. Obliczymy cenę bez promocji jednej butelki 250 ml: 23,50 - 1 : 3 = 22,50 : 3 = 7,50 zł.
  3. Obliczymy cenę bez promocji jednego litra szamponu w butelkach 250 ml cztery butelki: 4 · 7,50 = 30 zł.
  4. Odpowiedź: Tak, koszt zakupu bez promocji jednego litra szamponu w obu rodzajach butelek jest taki sam i wynosi 30 zł.

Sposób II

  1. Oznaczymy przez x cenę bez promocji butelki 500 ml. Druga butelka jest o 40% tańsza 0,6x, więc x + 0,6x = 24, stąd x = 15 zł.
  2. Cena bez promocji jednego litra dwie butelki 500 ml: 2 · 15 = 30 zł.
  3. Oznaczymy przez y cenę bez promocji butelki 250 ml. Czwarta butelka kosztuje 1 zł, więc 3y + 1 = 23,50, stąd y = 7,50 zł.
  4. Cena bez promocji jednego litra cztery butelki 250 ml: 4 · 7,50 = 30 zł.
  5. Odpowiedź: Tak, w obu przypadkach koszt jest taki sam i wynosi 30 zł.

Zasady oceniania

  • 3 pkt — Poprawny sposób obliczenia ceny bez promocji jednego litra szamponu w butelkach 500 ml oraz 250 ml, prawidłowe obliczenia oraz prawidłowy wniosek, że jest taki sam 30 zł.
  • 2 pkt — Poprawny sposób obliczenia ceny bez promocji jednego litra w butelkach 500 ml LUB w butelkach 250 ml, LUB obliczenia ceny bez promocji jednej butelki 500 ml oraz jednej butelki 250 ml.
  • 1 pkt — Poprawny sposób obliczenia ceny bez promocji jednej butelki 500 ml LUB jednej butelki 250 ml.

Zadanie 18 (2 pkt)

Proste k i l są równoległe. Na prostej l zaznaczono punkty D, A, B, a na prostej k zaznaczono punkty C i E. Odcinek CD jest prostopadły do prostych k i l. Kąt ACD ma miarę 40° i kąt ECB ma miarę 26° zobacz rysunek.

Czy trójkąt ABC jest równoramienny? Odpowiedź uzasadnij.

Rysunek do zadania 18

Sposób I

  1. Kąty ECB i ABC to kąty naprzemianległe, zatem miara kąta ABC = 26°.
  2. Odcinek CD jest prostopadły do prostej k, zatem miara kąta BCA = 90° - 40° - 26° = 24°.
  3. Z sumy miar kątów w trójkącie: miara kąta CAB = 180° - 24° - 26° = 130°.
  4. W trójkącie ABC żadne dwa kąty nie mają równej miary 24°, 26°, 130°, więc trójkąt ABC nie jest równoramienny.

Zasady oceniania

  • 2 pkt — Poprawny sposób obliczenia miar kątów BCA i ABC, prawidłowe obliczenia, prawidłowe wyniki 24° oraz 26° oraz wniosek, że trójkąt ABC nie jest równoramienny.
  • 1 pkt — Poprawny sposób obliczenia miar dowolnych dwóch kątów w trójkącie ABC LUB zapisanie, że trójkąt ABC jest równoramienny, gdy miara kąta BCA jest równa mierze kąta ABC, a nie jest — gdy miary te są różne.

Zadanie 19 (3 pkt)

Dany jest trapez prostokątny ABCD, którego długość boku BC jest równa 8 cm, a kąt DAB ma miarę 45° zobacz rysunek. Długość boku AB jest trzy razy większa od długości boku CD.

Oblicz pole trapezu ABCD. Zapisz obliczenia.

Rysunek do zadania 19

Sposób I

  1. Poprowadzimy wysokość DE trapezu E na boku AB. Wtedy EBCD jest prostokątem, a AED — trójkątem prostokątnym.
  2. Oznaczymy CD = x, wtedy EB = x oraz AB = 3x, więc AE = 3x - x = 2x.
  3. Trójkąt AED jest równoramienny kąt przy wierzchołku A ma miarę 45°, więc AE = ED = 8 cm.
  4. Z równania AE = 2x = 8 obliczymy x: x = 4 cm, więc CD = 4 cm, a AB = 3 · 4 = 12 cm.
  5. Obliczymy pole trapezu: P = 12 + 42 · 8 = 162 · 8 = 64 cm2
  6. Odpowiedź: Pole trapezu ABCD jest równe 64 cm2.

Zasady oceniania

  • 3 pkt — Poprawny sposób obliczenia pola trapezu, prawidłowe obliczenia oraz prawidłowy wynik 64 cm2.
  • 2 pkt — Poprawny sposób obliczenia długości podstaw AB i CD trapezu, LUB pola trójkąta AED 32 oraz długości jednej z podstaw.
  • 1 pkt — Ustalenie długości przyprostokątnych trójkąta prostokątnego o przeciwprostokątnej AD AE = ED = 8 cm LUB zapisanie wzoru na pole trapezu z uwzględnieniem długości odcinka BC = 8.

Zadanie 20 (3 pkt)

W graniastosłupie prostym o podstawie trójkąta prostokątnego najkrótsza krawędź podstawy ma długość 5 cm. Ściana boczna tego graniastosłupa o największej powierzchni jest kwadratem o polu 169 cm2.

Oblicz objętość tego graniastosłupa. Zapisz obliczenia.

Rysunek do zadania 20

Sposób I

  1. Obliczymy długość krawędzi największej ściany bocznej kwadratu o polu 169: a = 169 = 13 cm.
  2. Ta krawędź jest zarazem wysokością graniastosłupa oraz przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego w podstawie, więc H = 13 cm.
  3. Obliczymy dłuższą przyprostokątną podstawy z twierdzenia Pitagorasa: 52 + x2 = 132, więc x2 = 169 - 25 = 144, x = 12 cm.
  4. Obliczymy pole podstawy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 5 i 12: P = 12 · 52 = 30 cm2.
  5. Obliczymy objętość: V = 30 · 13 = 390 cm3
  6. Odpowiedź: Objętość tego graniastosłupa jest równa 390 cm3.

Zasady oceniania

  • 3 pkt — Poprawny sposób obliczenia objętości graniastosłupa, prawidłowe obliczenia oraz prawidłowy wynik 390 cm3.
  • 2 pkt — Poprawny sposób obliczenia długości krawędzi największej ściany bocznej 13 oraz dłuższej przyprostokątnej podstawy 12, tzn. poprawne zastosowanie twierdzenia Pitagorasa.
  • 1 pkt — Poprawny sposób obliczenia długości krawędzi największej ściany bocznej / wysokości graniastosłupa 13 LUB zapisanie poprawnej zależności z twierdzenia Pitagorasa 52 + x2 = a2 z uwzględnieniem najkrótszej krawędzi podstawy.
Przećwicz ten arkusz w aplikacji →

Pozostałe arkusze CKE

Zobacz też: zadania z rozwiązaniami według działów →