matE8.pl

Egzamin ósmoklasisty z matematyki — kwiecień 2019 — arkusz CKE z rozwiązaniami

CKE 2019, termin główny · 21 zadań · 30 punktów · 100 minut · egzamin 2019-04-16

Poniżej cały arkusz egzaminacyjny z matematyki wraz z odpowiedziami do zadań zamkniętych oraz rozwiązaniami krok po kroku i zasadami oceniania dla zadań otwartych.

Rozwiąż ten arkusz online i sprawdź swój wynik →

Zadanie 1 (1 pkt)

Na rysunku przedstawiono kartkę z kalendarza na rok 2017.

Rysunek do zadania 1

Natalia obchodzi urodziny 31 sierpnia, jej siostra Ewa – 18 sierpnia, a brat Karol – 2 października.

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

W 2017 r. urodziny Ewy wypadły w piątek.Prawda
W 2017 r. dniem urodzin Karola był poniedziałek.Prawda

Zadanie 2 (1 pkt)

Liczba 1450 jest zaokrągleniem do rzędu dziesiątek kilku liczb naturalnych.

Ile jest wszystkich liczb naturalnych różnych od 1450, które mają takie zaokrąglenie? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

  1. A. 4
  2. B. 5
  3. C. 9
  4. D. 10

Poprawna odpowiedź: C

Zadanie 3 (1 pkt)

W tabeli zapisano trzy wyrażenia.

Rysunek do zadania 3

Które z tych wyrażeń są równe 508? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

  1. A. Tylko I i II.
  2. B. Tylko II i III.
  3. C. Tylko II.
  4. D. Tylko III.

Poprawna odpowiedź: B

Zadanie 4 (1 pkt)

Dane są cztery wyrażenia:

I. 4 + 35    II. 6 + 17    III. 17 - 48    IV. 15 - 26

Wartości których wyrażeń są mniejsze od 10? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

  1. A. I i II
  2. B. II i III
  3. C. III i IV
  4. D. I i IV

Poprawna odpowiedź: D

Zadanie 5 (1 pkt)

Adam przygotował karty do gry z czterech arkuszy kartonu. Najpierw podzielił każdy arkusz kartonu na cztery części, a następnie każdą z nich ponownie podzielił na cztery części. Tak powstał komplet kart. W grze bierze udział 5 graczy, z których każdy otrzymuje jednakową liczbę kart.

Uzupełnij poniższe zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Zadanie 6 (1 pkt)

Dorota sporządziła z cukru i wody syrop do deseru. Stosunek masy cukru do masy wody w tym syropie jest równy 5 : 3.

Ile procent masy tego syropu stanowi masa cukru? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

  1. A. 25%
  2. B. 37,5%
  3. C. 40%
  4. D. 60%
  5. E. 62,5%

Poprawna odpowiedź: E

Zadanie 7 (1 pkt)

W pewnej firmie zatrudnionych jest więcej niż 10 pracowników. Połowa z nich zarabia po 3000 zł, a druga połowa – po 4000 zł.

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Średnia arytmetyczna zarobków w tej firmie jest równa 3500 zł.Prawda
Gdy z pracy w tej firmie zrezygnują dwie osoby, z których jedna zarabia 3000 zł, a druga 4000 zł, to średnia arytmetyczna zarobków się nie zmieni.Prawda

Zadanie 8 (1 pkt)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wyrażenie 2a + 3b3b - 2a jest równe

  1. A. 4a2 - 12ab + 9b2
  2. B. 9b2 + 12ab + 4a2
  3. C. 9b2 - 4a2
  4. D. 4a2 - 9b2

Poprawna odpowiedź: C

Zadanie 9 (1 pkt)

W układzie współrzędnych wyznaczono odcinek o końcach w punktach K i L. Punkty te mają współrzędne K = -17, 6 oraz L = 15, -4.

Na którym rysunku zakropkowana część płaszczyzny zawiera środek odcinka KL? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Rysunek do zadania 9
  1. A. A
  2. B. B
  3. C. C
  4. D. D

Poprawna odpowiedź: B

Zadanie 10 (1 pkt)

Kwadrat o boku a przedstawiony na rysunku I rozcięto na dwa przystające prostokąty, z których ułożono figurę, jak na rysunku II. Pole ułożonej figury jest równe polu kwadratu.

Rysunek do zadania 10

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Obwód ułożonej figury jest większy o 1,5a od obwodu kwadratu.Fałsz
Obwód ułożonej figury jest równy 5a.Prawda

Zadanie 11 (1 pkt)

Na rysunku przedstawiono trzy trójkąty.

Rysunek do zadania 11

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Na podstawie informacji przedstawionych na rysunku można stwierdzić, że

  1. A. trójkąt ABC jest przystający do trójkąta KLM.
  2. B. trójkąt KLM jest przystający do trójkąta PQR.
  3. C. trójkąt PQR jest przystający do trójkąta ABC.
  4. D. wszystkie trójkąty są do siebie przystające.

Poprawna odpowiedź: B

Zadanie 12 (1 pkt)

Na rysunku przedstawiono równoległobok ABCD i trójkąt równoramienny AED, w którym DE = AE. Miara kąta BCE jest równa 106°.

Rysunek do zadania 12

Jaką miarę ma kąt AEC? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

  1. A. 148°
  2. B. 122°
  3. C. 74°
  4. D. 58°

Poprawna odpowiedź: A

Zadanie 13 (1 pkt)

Na rysunku przedstawiono czworokąt zbudowany z dwóch trójkątów prostokątnych. Dane są długości boków AB = BC = 1 oraz AD = 2.

Rysunek do zadania 13

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość boku CD jest równa

  1. A. 3
  2. B. 2
  3. C. 3
  4. D. 2 · 2

Poprawna odpowiedź: B

Zadanie 14 (1 pkt)

W koszu były 203 jednakowe sześcienne klocki. Zbudowano z nich możliwie największy sześcian, a pozostałe odłożono.

Ile klocków odłożono? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

  1. A. 150
  2. B. 125
  3. C. 78
  4. D. 53

Poprawna odpowiedź: C

Zadanie 15 (1 pkt)

Na rysunku przedstawiono fragment siatki ostrosłupa prawidłowego czworokątnego.

Rysunek do zadania 15

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Suma długości wszystkich krawędzi tego ostrosłupa jest równa

  1. A. 560 cm
  2. B. 360 cm
  3. C. 260 cm
  4. D. 220 cm

Poprawna odpowiedź: B

Zadanie 16 (2 pkt)

Na diagramie przedstawiono informacje, jaki procent meczów w ciągu całego sezonu drużyna piłkarska zakończyła wygraną, jaki – przegraną, a jaki – remisem.

Rysunek do zadania 16

W ciągu całego sezonu drużyna wygrała 10 meczów. Ile meczów w sezonie ta drużyna przegrała? Zapisz obliczenia.

Sposób I

  1. Procent przegranych meczów: 100% - 25% + 45% = 30%
  2. 25% to 10 meczów, więc 5% to 2 mecze.
  3. 30% to 6 · 2 = 12 meczów.
  4. Odpowiedź: Drużyna w ciągu całego sezonu przegrała 12 meczów.

Sposób II

  1. x – liczba wszystkich rozegranych meczów. 25% z x to 10, czyli 0,25x = 10, więc x = 40.
  2. Drużyna rozegrała w sezonie 40 meczów.
  3. Procent przegranych: 100% - 25% + 45% = 30%
  4. Liczba przegranych: 0,3 · 40 = 12
  5. Odpowiedź: Drużyna w ciągu całego sezonu przegrała 12 meczów.

Zasady oceniania

  • 2 pkt — Obliczenie liczby przegranych meczów 12.
  • 1 pkt — Poprawny sposób obliczenia liczby przegranych meczów LUB obliczenie liczby wszystkich rozegranych meczów 40.

Zadanie 17 (2 pkt)

Samochód osobowy przebył drogę 120 km w czasie 75 minut. Prędkość średnia busa na tej samej trasie wyniosła 80 kmh. O ile krótszy był czas przejazdu tej drogi samochodem osobowym od czasu przejazdu busem? Zapisz obliczenia.

Sposób I

  1. Czas przejazdu busa: 120 : 80 = 1,5 h
  2. 1,5 h = 90 minut
  3. Różnica czasu: 90 min - 75 min = 15 minut
  4. Odpowiedź: Czas przejazdu tej trasy samochodem był o 15 minut krótszy niż busem.

Sposób II

  1. W ciągu 75 minut bus o prędkości 80 kmh przejechał 100 km, a samochód osobowy — 120 km.
  2. Samochód przejechał o 20 km więcej; te dodatkowe 20 km bus pokonuje w 15 minut.
  3. Odpowiedź: Czas przejazdu tej trasy samochodem był o 15 minut krótszy niż busem.

Zasady oceniania

  • 2 pkt — Wyznaczenie różnicy czasu: 15 minut lub 14 godziny.
  • 1 pkt — Poprawny sposób obliczenia czasu jazdy busa, LUB obliczenia o ile kilometrów mniej przejechał bus od samochodu w ciągu 75 minut, LUB obliczenia różnicy czasu potrzebnego na pokonanie drogi o tej samej długości przez oba pojazdy.

Zadanie 18 (2 pkt)

Adam zamówił bukiet złożony tylko z goździków i róż, w którym goździków było 2 razy więcej niż róż. Jedna róża kosztowała 4 zł, a cena jednego goździka wynosiła 3 zł. Czy wszystkie kwiaty w tym bukiecie mogły kosztować 35 zł? Uzasadnij odpowiedź.

Sposób I

  1. x – liczba róż, 2x – liczba goździków.
  2. Koszt bukietu: 4 · x + 3 · 2x = 35
  3. 4x + 6x = 35, czyli 10x = 35, więc x = 3,5
  4. Bukiet składałby się z 3,5 róży i 7 goździków. Liczby kwiatów muszą być całkowite, zatem Adam nie mógł zapłacić za taki bukiet 35 zł.

Sposób II

  1. „Minimalny” bukiet zgodny z warunkami: 1 róża i 2 goździki. Jego koszt: 1 · 4 + 2 · 3 = 10 zł.
  2. Każdy bukiet spełniający warunki jest wielokrotnością „minimalnego”, więc jego koszt jest wielokrotnością 10 zł.
  3. 35 zł nie jest wielokrotnością 10 zł, zatem bukiet nie mógł kosztować 35 zł.

Zasady oceniania

  • 2 pkt — Poprawne uzasadnienie, że bukiet nie może kosztować 35 zł.
  • 1 pkt — Zapisanie poprawnego równania z jedną niewiadomą LUB wyrażenia algebraicznego opisującego koszt zakupu bukietu, LUB poprawne obliczenie kosztów co najmniej dwóch różnych bukietów spełniających warunki zadania.

Zadanie 19 (3 pkt)

Z okazji dnia sportu w godzinach od 9:00 do 12:00 przeprowadzono połowę z wszystkich konkurencji zaplanowanych na cały dzień, a między 12:00 a 14:00 – jeszcze 13 z pozostałych. O godzinie 14:00 z powodu deszczu zakończono zawody. W tym dniu nie przeprowadzono 12 zaplanowanych konkurencji. Ile konkurencji planowano przeprowadzić podczas całego dnia sportu? Zapisz obliczenia.

Sposób I

  1. Po godzinie 12:00 pozostało 1 - 12 = 12 wszystkich konkurencji.
  2. Między 12:00 a 14:00 przeprowadzono 13 · 12 = 16 wszystkich konkurencji.
  3. Nieprzeprowadzone: 12 - 16 = 13 wszystkich konkurencji.
  4. 13 wszystkich to 12 konkurencji, więc 1 całość to 36 konkurencji.
  5. Odpowiedź: Podczas dnia sportu zaplanowano 36 konkurencji.

Sposób II

  1. x – liczba zaplanowanych konkurencji.
  2. x = 12 x + 13 · 12 x + 12
  3. x = 36
  4. Odpowiedź: Podczas dnia sportu zaplanowano 36 konkurencji.

Zasady oceniania

  • 3 pkt — Obliczenie liczby zaplanowanych konkurencji 36.
  • 2 pkt — Ustalenie, że 12 konkurencji stanowi 13 wszystkich zaplanowanych konkurencji, LUB zapisanie równania pozwalającego wyznaczyć liczbę konkurencji, LUB obliczenie połowy zaplanowanych konkurencji 18.
  • 1 pkt — Opisanie za pomocą wyrażenia arytmetycznego lub ułamka, jaką częścią wszystkich konkurencji są konkurencje przeprowadzone między 12:00 a 14:00, tj. 12 · 13 = 16, LUB poprawny sposób obliczenia połowy zaplanowanych konkurencji.

Zadanie 20 (3 pkt)

Prostokątną działkę o powierzchni 3750 m2 podzielono na trzy prostokątne działki o jednakowych wymiarach, w sposób przedstawiony na rysunku.

Rysunek do zadania 20

Jakie wymiary miała działka przed podziałem? Zapisz obliczenia.

Sposób I

  1. Oznaczmy krótszy bok małej działki jako a, dłuższy jako b. Z rysunku wynika, że b = 2a.
  2. Wymiary całej działki to 3a długość i 2a szerokość.
  3. 3a · 2a = 3750, czyli 6a2 = 3750
  4. a2 = 625, więc a = 25 m
  5. Wymiary działki przed podziałem: 3a = 75 m oraz 2a = 50 m.
  6. Odpowiedź: Działka przed podziałem miała 75 m długości i 50 m szerokości.

Sposób II

  1. b = 2a, więc każda mała działka ma wymiary 2a i a.
  2. Pole jednej małej działki: 3750 : 3 = 1250 m2
  3. a · 2a = 1250, czyli 2a2 = 1250, a2 = 625, a = 25 m
  4. Wymiary działki: b = 2a = 50 m oraz a + b = 25 + 50 = 75 m.
  5. Odpowiedź: Działka przed podziałem miała 75 m długości i 50 m szerokości.

Zasady oceniania

  • 3 pkt — Obliczenie wymiarów działki przed podziałem 50 m, 75 m.
  • 2 pkt — Poprawny sposób obliczenia jednego wymiaru prostokąta.
  • 1 pkt — Ustalenie, że długości wymiarów małej działki pozostają w stosunku 2:1 LUB że długości wymiarów dużej działki pozostają w stosunku 3:2.

Zadanie 21 (3 pkt)

Paweł wyciął z kartonu trójkąt prostokątny ABC o przyprostokątnych 12 cm i 16 cm rysunek I. Następnie połączył środki dłuższej przyprostokątnej i przeciwprostokątnej linią przerywaną równoległą do krótszej przyprostokątnej, a potem rozciął trójkąt ABC wzdłuż tej linii na dwie figury. Z tych figur złożył trapez PRST rysunek II.

Rysunek do zadania 21

Oblicz różnicę obwodów trójkąta ABC i trapezu PRST. Zapisz obliczenia.

Sposób I

  1. Przeciwprostokątna trójkąta ABC: 122 + 162 = 400 = 20 cm
  2. Odcinek łączy środki dłuższej przyprostokątnej i przeciwprostokątnej, więc odcięta część przeciwprostokątnej ma 20 : 2 = 10 cm.
  3. Długość linii cięcia y: y2 + 82 = 102, czyli y = 6 cm.
  4. Obwód trójkąta ABC: 12 + 16 + 20 = 48 cm
  5. Obwód trapezu PRST: 6 + 12 + 10 + 6 + 10 = 44 cm
  6. Różnica: 48 - 44 = 4 cm
  7. Odpowiedź: Różnica obwodów trójkąta ABC i trapezu PRST jest równa 4 cm.

Sposób II

  1. Przeciwprostokątna: 122 + 162 = 20 cm, jej połowa to 10 cm.
  2. Linia cięcia łącząca środki dwóch boków jest równa połowie krótszej przyprostokątnej: 12 : 2 = 6 cm.
  3. Przy złożeniu trapezu jeden bok trójkąta zamienia się, a różnica obwodów wynosi: 16 - 2 · 6 = 4 cm.
  4. Odpowiedź: Różnica obwodów trójkąta ABC i trapezu PRST jest równa 4 cm.

Zasady oceniania

  • 3 pkt — Obliczenie różnicy obwodów trójkąta ABC i trapezu PRST 4 cm.
  • 2 pkt — Przedstawienie poprawnego sposobu obliczenia obwodu trójkąta ABC i obwodu trapezu PRST, LUB poprawnego sposobu obliczenia różnicy obwodów, LUB obliczenie obwodu trapezu 44.
  • 1 pkt — Przedstawienie poprawnego sposobu obliczenia długości przeciwprostokątnej trójkąta ABC.
Przećwicz ten arkusz w aplikacji →

Pozostałe arkusze CKE

Zobacz też: zadania z rozwiązaniami według działów →